次の微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25\cos{x}$ は、一般解 $y = C_1 e^{-2x} + C_2 xe^{-2x} + 4\sin{x} + 3\cos{x}$ を持つ。このとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

1. 問題の内容

次の微分方程式

$\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25\cos{x}$

は、一般解

$y = C_1 e^{-2x} + C_2 xe^{-2x} + 4\sin{x} + 3\cos{x}$

を持つ。このとき、与えられた選択肢の中から特殊解となるものを全て選ぶ。

2. 解き方の手順

一般解は、$y = y_h + y_p$ の形で表される。ここで、$y_h$ は同次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ の一般解であり、$y_p$ は非同次方程式の特殊解である。

$y_h = C_1 e^{-2x} + C_2 xe^{-2x}$ であるから、特殊解 $y_p$ は $y = 4\sin{x} + 3\cos{x}$ である。

特殊解となるのは、与えられた一般解から同次解を引いたものである。

したがって、与えられた選択肢の中から、定数 $C_1, C_2$ を適当に選ぶことで、一般解の形にできるものを選ぶ。

選択肢を一つずつ確認する。

* $y = \sin{x}$：これは $4\sin{x} + 3\cos{x}$ の形にならず、同次解の項もないので、特殊解ではない。

* $y = \cos{x}$：これは $4\sin{x} + 3\cos{x}$ の形にならず、同次解の項もないので、特殊解ではない。

* $y = 4\sin{x} + 3\cos{x}$：これは特殊解の形であり、 $C_1 = C_2 = 0$ とすれば一般解の形になるので、特殊解である。

* $y = e^{-2x} - 4\sin{x} + 3\cos{x}$：$C_1 = 1, C_2 = 0$ とすれば、一般解の形になるので、特殊解である。

* $y = e^{-2x} + 4\sin{x} + 3\cos{x}$：$C_1 = 1, C_2 = 0$ とすれば、一般解の形になるので、特殊解である。

* $y = xe^{-2x} - 4\sin{x} + 3\cos{x}$：$C_1 = 0, C_2 = 1$ とすれば、一般解の形になるので、特殊解である。

* $y = xe^{-2x} + 4\sin{x} + 3\cos{x}$：$C_1 = 0, C_2 = 1$ とすれば、一般解の形になるので、特殊解である。

3. 最終的な答え

$y = 4\sin{x} + 3\cos{x}$

$y = e^{-2x} - 4\sin{x} + 3\cos{x}$

$y = e^{-2x} + 4\sin{x} + 3\cos{x}$

$y = xe^{-2x} - 4\sin{x} + 3\cos{x}$

$y = xe^{-2x} + 4\sin{x} + 3\cos{x}$