与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 5y = 8e^x$ について、その一般解が $y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$ である。選択肢の中から、与えられた微分方程式の特殊解となるものをすべて選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} - 2\frac{dy}{dx} + 5y = 8e^x$ について、その一般解が $y = e^x(C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + 2)$ である。選択肢の中から、与えられた微分方程式の特殊解となるものをすべて選ぶ。

2. 解き方の手順

与えられた選択肢それぞれについて、微分方程式に代入して確かめる。

* $y = 2$:

$\frac{dy}{dx} = 0$, $\frac{d^2y}{dx^2} = 0$.

微分方程式に代入すると、 $0 - 2(0) + 5(2) = 10 \neq 8e^x$. よって、$y = 2$ は特殊解ではない。

* $y = e^x$:

$\frac{dy}{dx} = e^x$, $\frac{d^2y}{dx^2} = e^x$.

微分方程式に代入すると、$e^x - 2e^x + 5e^x = 4e^x \neq 8e^x$. よって、$y = e^x$ は特殊解ではない。

* $y = 2e^x$:

$\frac{dy}{dx} = 2e^x$, $\frac{d^2y}{dx^2} = 2e^x$.

微分方程式に代入すると、$2e^x - 2(2e^x) + 5(2e^x) = 2e^x - 4e^x + 10e^x = 8e^x$. よって、$y = 2e^x$ は特殊解である。

* $y = e^x - 1$:

$\frac{dy}{dx} = e^x$, $\frac{d^2y}{dx^2} = e^x$.

微分方程式に代入すると、$e^x - 2e^x + 5(e^x - 1) = e^x - 2e^x + 5e^x - 5 = 4e^x - 5 \neq 8e^x$. よって、$y = e^x - 1$ は特殊解ではない。

* $y = e^x \sin 2x + 2e^x$:

$\frac{dy}{dx} = e^x \sin 2x + 2e^x \cos 2x + 2e^x$, $\frac{d^2y}{dx^2} = e^x \sin 2x + 2e^x \cos 2x + 2e^x \cos 2x - 4e^x \sin 2x + 2e^x = -3e^x \sin 2x + 4e^x \cos 2x + 2e^x$.

微分方程式に代入すると、$(-3e^x \sin 2x + 4e^x \cos 2x + 2e^x) - 2(e^x \sin 2x + 2e^x \cos 2x + 2e^x) + 5(e^x \sin 2x + 2e^x) = (-3 - 2 + 5)e^x \sin 2x + (4 - 4)e^x \cos 2x + (2 - 4 + 10)e^x = 8e^x$. よって、$y = e^x \sin 2x + 2e^x$ は特殊解である。

* $y = e^x \cos 2x + e^x$:

$\frac{dy}{dx} = e^x \cos 2x - 2e^x \sin 2x + e^x$, $\frac{d^2y}{dx^2} = e^x \cos 2x - 2e^x \sin 2x - 2e^x \sin 2x - 4e^x \cos 2x + e^x = -3e^x \cos 2x - 4e^x \sin 2x + e^x$.

微分方程式に代入すると, $(-3e^x \cos 2x - 4e^x \sin 2x + e^x) - 2(e^x \cos 2x - 2e^x \sin 2x + e^x) + 5(e^x \cos 2x + e^x) = (-3 - 2 + 5)e^x \cos 2x + (-4 + 4)e^x \sin 2x + (1 - 2 + 5)e^x = 4e^x \neq 8e^x$. よって、$y = e^x \cos 2x + e^x$ は特殊解ではない。

* $y = e^x \cos 2x + 2e^x$:

$\frac{dy}{dx} = e^x \cos 2x - 2e^x \sin 2x + 2e^x$ , $\frac{d^2 y}{dx^2} = e^x \cos 2x - 2e^x \sin 2x - 2e^x \sin 2x - 4e^x \cos 2x + 2e^x = -3e^x \cos 2x -4e^x \sin 2x + 2e^x$.

微分方程式に代入すると, $(-3e^x \cos 2x - 4e^x \sin 2x + 2e^x) -2(e^x \cos 2x -2e^x \sin 2x + 2e^x) + 5(e^x \cos 2x + 2e^x) = (-3-2+5)e^x \cos 2x + (-4+4)e^x \sin 2x + (2-4+10)e^x = 8e^x$. よって、$y = e^x \cos 2x + 2e^x$は特殊解である.

3. 最終的な答え

$y = 2e^x$, $y = e^x \sin 2x + 2e^x$, $y = e^x \cos 2x + 2e^x$