与えられた問題は、定積分 $\int_{-1}^{1} x^2 e^{-x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、定積分 $\int_{-1}^{1} x^2 e^{-x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

部分積分を2回適用します。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

まず、$u = x^2$ と $dv = e^{-x} dx$ とします。

このとき、$du = 2x dx$ と $v = -e^{-x}$ となります。

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx$

次に、$\int x e^{-x} dx$ を計算するために、再度部分積分を行います。

$u = x$ と $dv = e^{-x} dx$ とします。

このとき、$du = dx$ と $v = -e^{-x}$ となります。

$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x}$

したがって、

$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2 (-x e^{-x} - e^{-x}) = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2 e^{-x} = -e^{-x} (x^2 + 2x + 2)$

よって、定積分は

$\int_{-1}^{1} x^2 e^{-x} dx = [-e^{-x} (x^2 + 2x + 2)]_{-1}^{1} = -e^{-1} (1^2 + 2(1) + 2) - (-e^{-(-1)} ((-1)^2 + 2(-1) + 2)) = -e^{-1} (1+2+2) + e (1-2+2) = -5e^{-1} + e = e - \frac{5}{e}$

3. 最終的な答え

$e - \frac{5}{e}$