定義域 $D$ が与えられた関数が1対1であるかどうかを説明し、1対1である場合は逆関数 $f^{-1}(x)$ とその定義域・値域を求める。

1. 問題の内容

定義域 $D$ が与えられた関数が1対1であるかどうかを説明し、1対1である場合は逆関数 $f^{-1}(x)$ とその定義域・値域を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x + 4$, $D = \mathbb{R}$

- 1対1の証明：$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ に対して、$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ を示す。

$f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow 2x_1 + 4 = 2x_2 + 4 \Rightarrow 2x_1 = 2x_2 \Rightarrow x_1 = x_2$

よって、$f(x)$ は1対1である。

- 逆関数の計算：$y = 2x + 4$ を $x$ について解く。

$y = 2x + 4 \Rightarrow 2x = y - 4 \Rightarrow x = \frac{y - 4}{2}$

よって、$f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{2}$

- 定義域・値域：

$f^{-1}(x)$ の定義域は $f(x)$ の値域である。$f(x)$ は $x \in \mathbb{R}$ で定義され、値域も $\mathbb{R}$ であるから、$f^{-1}(x)$ の定義域は $\mathbb{R}$ である。

$f^{-1}(x)$ の値域は $f(x)$ の定義域であるから $\mathbb{R}$ である。

(2) $f(x) = x^2 + 2x - 3$, $D = [-1, \infty)$

- $f(x) = (x+1)^2 - 4$ と変形できる。

- 1対1の証明：$x \ge -1$ であるとき、$f(x)$ は増加関数なので、1対1である。

- 逆関数の計算：$y = (x+1)^2 - 4$ を $x$ について解く。

$y + 4 = (x+1)^2 \Rightarrow x+1 = \pm \sqrt{y+4}$

$x \ge -1$ より、$x + 1 \ge 0$ なので、$x+1 = \sqrt{y+4}$ となる。

$x = \sqrt{y+4} - 1$

よって、$f^{-1}(x) = \sqrt{x+4} - 1$

- 定義域・値域：

$f(x)$ の定義域は $[-1, \infty)$ で、値域は $[-4, \infty)$ である。

$f^{-1}(x)$ の定義域は $[-4, \infty)$ で、値域は $[-1, \infty)$ である。

(3) $f(x) = x^2$, $D = [-1, 1]$

- 1対1ではない。例えば、$f(-1) = 1$, $f(1) = 1$ なので、$x_1 \neq x_2$ でも $f(x_1) = f(x_2)$ となる。

(4) $f(x) = \sqrt{x+1}$, $D = [-1, \infty)$

- 1対1の証明：$f(x_1) = f(x_2)$ ならば $x_1 = x_2$ を示す。

$\sqrt{x_1 + 1} = \sqrt{x_2 + 1} \Rightarrow x_1 + 1 = x_2 + 1 \Rightarrow x_1 = x_2$

よって、$f(x)$ は1対1である。

- 逆関数の計算：$y = \sqrt{x+1}$ を $x$ について解く。

$y^2 = x+1 \Rightarrow x = y^2 - 1$

よって、$f^{-1}(x) = x^2 - 1$

- 定義域・値域：

$f(x)$ の定義域は $[-1, \infty)$ で、値域は $[0, \infty)$ である。

$f^{-1}(x)$ の定義域は $[0, \infty)$ で、値域は $[-1, \infty)$ である。

3. 最終的な答え

(1) 1対1である。$f^{-1}(x) = \frac{x - 4}{2}$。定義域：$\mathbb{R}$、値域：$\mathbb{R}$。

(2) 1対1である。$f^{-1}(x) = \sqrt{x+4} - 1$。定義域：$[-4, \infty)$、値域：$[-1, \infty)$。

(3) 1対1ではない。

(4) 1対1である。$f^{-1}(x) = x^2 - 1$。定義域：$[0, \infty)$、値域：$[-1, \infty)$。