与えられた問題は定積分 $\int_{-1}^{1} x^2 e^{-x} dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は定積分 $\int_{-1}^{1} x^2 e^{-x} dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

部分積分を2回用います。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

まず、$u = x^2$、$dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = 2x dx$、$v = -e^{-x}$ となります。したがって、

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\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - \int (-e^{-x}) (2x) dx = -x^2 e^{-x} + 2 \int x e^{-x} dx

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次に、$I = \int x e^{-x} dx$ を計算します。再び部分積分を用いて、$u = x$、$dv = e^{-x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = -e^{-x}$ となります。したがって、

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I = \int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - \int (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + \int e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x}

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これを最初の式に代入すると、

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\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} + 2(-x e^{-x} - e^{-x}) = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x}

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したがって、定積分は

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\begin{aligned}

\int_{-1}^{1} x^2 e^{-x} dx &= \left[ -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} \right]_{-1}^{1} \\

&= \left( -e^{-1} - 2e^{-1} - 2e^{-1} \right) - \left( -e - 2e - 2e \right) \\

&= -5e^{-1} + 5e \\

&= 5e - \frac{5}{e} = 5\left( e - \frac{1}{e} \right) = 5\left(\frac{e^2 - 1}{e}\right)

\end{aligned}

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3. 最終的な答え

$5e - \frac{5}{e}$