与えられた6つの関数を積分する問題です。 (1) $ (2x+3)^7 $ (2) $ x(x^2+1)^8 $ (3) $ \sin^4 x \cos x $ (4) $ \frac{x}{(x^2+1)^3} $ (5) $ \frac{x}{x^2-x+1} $ (6) $ \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} $

はい、承知いたしました。与えられた積分問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を積分する問題です。

(1) $(2x+3)^7$

(2) $x(x^2+1)^8$

(3) $\sin^4 x \cos x$

(4) $\frac{x}{(x^2+1)^3}$

(5) $\frac{x}{x^2-x+1}$

(6) $\frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}}$

2. 解き方の手順

(1) $(2x+3)^7$ の積分

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$。

$\int (2x+3)^7 dx = \int u^7 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^7 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{(2x+3)^8}{16} + C$

(2) $x(x^2+1)^8$ の積分

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$。

$\int x(x^2+1)^8 dx = \int u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^9}{9} + C = \frac{(x^2+1)^9}{18} + C$

(3) $\sin^4 x \cos x$ の積分

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$。

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(4) $\frac{x}{(x^2+1)^3}$ の積分

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$。

$\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

(5) $\frac{x}{x^2-x+1}$ の積分

$\int \frac{x}{x^2-x+1} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{1}{2}}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

$= \frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C = \frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

(6) $\frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}}$ の積分

$\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{(x-1)+1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$

$u = 4-(x-1)^2$ と置換すると、$du = -2(x-1) dx$。

$\int \frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{u}} = -\sqrt{u} + C = -\sqrt{4-(x-1)^2} + C = -\sqrt{3+2x-x^2} + C$

$\int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = -\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(2x+3)^8}{16} + C$

(2) $\frac{(x^2+1)^9}{18} + C$

(3) $\frac{\sin^5 x}{5} + C$

(4) $-\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

(5) $\frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

(6) $-\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$