$\frac{x}{x^2 - x + 1}$ の積分を計算します。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

$\frac{x}{x^2 - x + 1}$ の積分を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を次のように書きます。

$\int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx$

分母を微分すると $2x - 1$ になることに着目します。分子を $2x - 1$ の形に近づけるために、次のように変形します。

$\int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{1}{2}}{x^2 - x + 1} dx$

この積分を2つに分けます。

$= \frac{1}{2} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$

最初の積分は、置換積分を使って簡単に計算できます。$u = x^2 - x + 1$ とすると、$du = (2x - 1) dx$ となります。

$\frac{1}{2} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + C_1$

次に、2番目の積分を計算します。分母を平方完成させます。

$x^2 - x + 1 = (x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

したがって、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

ここで、$v = x - \frac{1}{2}$ と置くと、$dv = dx$ となり、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dv$

$\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan(\frac{x}{a}) + C$ の公式を使うと、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{v^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dv = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arctan(\frac{v}{\frac{\sqrt{3}}{2}}) + C_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2v}{\sqrt{3}}) + C_2$

$v = x - \frac{1}{2}$ を代入して、

$\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}) + C_2$

したがって、元の積分は

$\int \frac{x}{x^2 - x + 1} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}) + C$