以下の3つの微分方程式について、与えられた形の特殊解を求め、一般解を求める問題です。 (1) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x+1$ ($y_0 = Ax+B$) (2) $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 4y = 4x^2-2x$ ($y_0 = Ax^2+Bx+C$) (3) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25\cos x$ ($y_0 = A\sin x + B\cos x$) 以下、それぞれの問題について解き方と答えを示します。 (1) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x+1$ ($y_0 = Ax+B$)

はい、承知いたしました。画像にある微分方程式の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの微分方程式について、与えられた形の特殊解を求め、一般解を求める問題です。

(1) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x+1$ ($y_0 = Ax+B$)

(2) $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 4y = 4x^2-2x$ ($y_0 = Ax^2+Bx+C$)

(3) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25\cos x$ ($y_0 = A\sin x + B\cos x$)

以下、それぞれの問題について解き方と答えを示します。

(1) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 3x+1$ ($y_0 = Ax+B$)

2. 解き方の手順

まず、特殊解 $y_0 = Ax+B$ を仮定して微分方程式に代入します。

$\frac{dy_0}{dx} = A$

$\frac{d^2y_0}{dx^2} = 0$

これらを微分方程式に代入すると、

$0 + 4A + 3(Ax+B) = 3x+1$

$3Ax + (4A + 3B) = 3x + 1$

係数を比較して、

$3A = 3$

$4A + 3B = 1$

これから、$A = 1$、$4(1) + 3B = 1$ より $3B = -3$、$B = -1$。

したがって、特殊解は $y_0 = x - 1$。

次に、斉次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 3y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は $r^2 + 4r + 3 = 0$。

$(r+1)(r+3) = 0$ より、$r = -1, -3$。

よって、斉次方程式の一般解は $y_h = C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$ （$C_1, C_2$は任意定数）。

一般解は、特殊解と斉次方程式の一般解の和で与えられます。

$y = y_0 + y_h = x - 1 + C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$

3. 最終的な答え

一般解：$y = x - 1 + C_1e^{-x} + C_2e^{-3x}$

(2) $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 4y = 4x^2-2x$ ($y_0 = Ax^2+Bx+C$)

2. 解き方の手順

まず、特殊解 $y_0 = Ax^2+Bx+C$ を仮定して微分方程式に代入します。

$\frac{dy_0}{dx} = 2Ax + B$

$\frac{d^2y_0}{dx^2} = 2A$

これらを微分方程式に代入すると、

$2A - 5(2Ax+B) + 4(Ax^2+Bx+C) = 4x^2 - 2x$

$4Ax^2 + (-10A + 4B)x + (2A - 5B + 4C) = 4x^2 - 2x$

係数を比較して、

$4A = 4$

$-10A + 4B = -2$

$2A - 5B + 4C = 0$

これから、$A = 1$、$-10(1) + 4B = -2$ より $4B = 8$、$B = 2$。

$2(1) - 5(2) + 4C = 0$ より $2 - 10 + 4C = 0$、$4C = 8$、$C = 2$。

したがって、特殊解は $y_0 = x^2 + 2x + 2$。

次に、斉次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は $r^2 - 5r + 4 = 0$。

$(r-1)(r-4) = 0$ より、$r = 1, 4$。

よって、斉次方程式の一般解は $y_h = C_1e^{x} + C_2e^{4x}$ （$C_1, C_2$は任意定数）。

一般解は、特殊解と斉次方程式の一般解の和で与えられます。

$y = y_0 + y_h = x^2 + 2x + 2 + C_1e^{x} + C_2e^{4x}$

3. 最終的な答え

一般解：$y = x^2 + 2x + 2 + C_1e^{x} + C_2e^{4x}$

(3) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 25\cos x$ ($y_0 = A\sin x + B\cos x$)

2. 解き方の手順

まず、特殊解 $y_0 = A\sin x + B\cos x$ を仮定して微分方程式に代入します。

$\frac{dy_0}{dx} = A\cos x - B\sin x$

$\frac{d^2y_0}{dx^2} = -A\sin x - B\cos x$

これらを微分方程式に代入すると、

$(-A\sin x - B\cos x) + 4(A\cos x - B\sin x) + 4(A\sin x + B\cos x) = 25\cos x$

$(-A - 4B + 4A)\sin x + (-B + 4A + 4B)\cos x = 25\cos x$

$(3A - 4B)\sin x + (4A + 3B)\cos x = 25\cos x$

係数を比較して、

$3A - 4B = 0$

$4A + 3B = 25$

これらを解くと、$3A = 4B$ より $A = \frac{4}{3}B$。

$4(\frac{4}{3}B) + 3B = 25$

$\frac{16}{3}B + 3B = 25$

$\frac{25}{3}B = 25$

$B = 3$

$A = \frac{4}{3}(3) = 4$

したがって、特殊解は $y_0 = 4\sin x + 3\cos x$。

次に、斉次方程式 $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ の一般解を求めます。

特性方程式は $r^2 + 4r + 4 = 0$。

$(r+2)^2 = 0$ より、$r = -2$（重根）。

よって、斉次方程式の一般解は $y_h = (C_1 + C_2x)e^{-2x}$ （$C_1, C_2$は任意定数）。

一般解は、特殊解と斉次方程式の一般解の和で与えられます。

$y = y_0 + y_h = 4\sin x + 3\cos x + (C_1 + C_2x)e^{-2x}$

3. 最終的な答え

一般解：$y = 4\sin x + 3\cos x + (C_1 + C_2x)e^{-2x}$