与えられた関数に対して、マクローリンの定理を用いて2次多項式による近似式を求める問題です。関数は以下の４つです。 (1) $\cos x$ (2) $e^{-x} \sin x$ (3) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ (4) $\cosh x$

1. 問題の内容

与えられた関数に対して、マクローリンの定理を用いて2次多項式による近似式を求める問題です。関数は以下の４つです。

(1) $\cos x$

(2) $e^{-x} \sin x$

(3) $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$

(4) $\cosh x$

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ の周りで展開したものです。2次多項式による近似式は以下のようになります。

$f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2$

各関数について、上記の式を計算します。

(1) $f(x) = \cos x$

$f(0) = \cos 0 = 1$

$f'(x) = -\sin x$, $f'(0) = -\sin 0 = 0$

$f''(x) = -\cos x$, $f''(0) = -\cos 0 = -1$

したがって、

$\cos x \approx 1 + 0 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2 = 1 - \frac{1}{2}x^2$

(2) $f(x) = e^{-x} \sin x$

$f(0) = e^{-0} \sin 0 = 1 \cdot 0 = 0$

$f'(x) = -e^{-x} \sin x + e^{-x} \cos x = e^{-x}(\cos x - \sin x)$, $f'(0) = e^{-0}(\cos 0 - \sin 0) = 1(1-0) = 1$

$f''(x) = -e^{-x}(\cos x - \sin x) + e^{-x}(-\sin x - \cos x) = e^{-x}(-\cos x + \sin x - \sin x - \cos x) = -2e^{-x}\cos x$, $f''(0) = -2e^{-0}\cos 0 = -2(1)(1) = -2$

したがって、

$e^{-x} \sin x \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{-2}{2}x^2 = x - x^2$

(3) $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x}} = (1+x)^{-1/2}$

$f(0) = (1+0)^{-1/2} = 1$

$f'(x) = -\frac{1}{2}(1+x)^{-3/2}$, $f'(0) = -\frac{1}{2}(1+0)^{-3/2} = -\frac{1}{2}$

$f''(x) = \frac{3}{4}(1+x)^{-5/2}$, $f''(0) = \frac{3}{4}(1+0)^{-5/2} = \frac{3}{4}$

したがって、

$\frac{1}{\sqrt{1+x}} \approx 1 + (-\frac{1}{2})x + \frac{\frac{3}{4}}{2}x^2 = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$

(4) $f(x) = \cosh x$

$f(0) = \cosh 0 = 1$

$f'(x) = \sinh x$, $f'(0) = \sinh 0 = 0$

$f''(x) = \cosh x$, $f''(0) = \cosh 0 = 1$

したがって、

$\cosh x \approx 1 + 0 \cdot x + \frac{1}{2}x^2 = 1 + \frac{1}{2}x^2$

3. 最終的な答え

(1) $\cos x \approx 1 - \frac{1}{2}x^2$

(2) $e^{-x} \sin x \approx x - x^2$

(3) $\frac{1}{\sqrt{1+x}} \approx 1 - \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2$

(4) $\cosh x \approx 1 + \frac{1}{2}x^2$