問題は、与えられた関数を積分することです。具体的には、問題番号3の関数 $1/(x^3 + 1)$ の積分を求める必要があります。

1. 問題の内容

問題は、与えられた関数を積分することです。具体的には、問題番号3の関数 $1/(x^3 + 1)$ の積分を求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x^3 + 1$ を因数分解します。

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

したがって、積分は次のようになります。

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \int \frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} dx$

部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$

両辺に $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ を掛けると、

$1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + (A + C)$

係数を比較すると、

$A + B = 0$

$-A + B + C = 0$

$A + C = 1$

これらの連立方程式を解きます。

$B = -A$

$-A - A + C = 0 \implies C = 2A$

$A + 2A = 1 \implies 3A = 1 \implies A = \frac{1}{3}$

$B = -\frac{1}{3}$

$C = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{1}{(x + 1)(x^2 - x + 1)} = \frac{1/3}{x + 1} + \frac{(-1/3)x + (2/3)}{x^2 - x + 1}$

$= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \right)$

積分は、

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{x + 1} + \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} \right) dx$

$= \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} dx$

$= \frac{1}{3} \ln|x + 1| + \frac{1}{3} \int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} dx$

$\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{3}{2}}{x^2 - x + 1} dx$

$= -\frac{1}{2} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan\left(\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + C$

$= -\frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$

したがって、

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln|x + 1| + \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{2} \ln|x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) \right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x + 1| - \frac{1}{6} \ln|x^2 - x + 1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$

$= \frac{1}{6} \left( 2 \ln|x + 1| - \ln|x^2 - x + 1| + 2\sqrt{3} \arctan\left(\frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) \right) + C$

$= \frac{1}{6} \ln \frac{(x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{\sqrt{3}}{9} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+ C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}\ln|x+1| - \frac{1}{6}\ln(x^2-x+1) + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

または

$\frac{1}{6} \ln \frac{(x + 1)^2}{x^2 - x + 1} + \frac{\sqrt{3}}{9} \arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right)+ C$