与えられた有理関数 $\frac{1}{x^3+1}$ を積分せよ。

1. 問題の内容

与えられた有理関数 $\frac{1}{x^3+1}$ を積分せよ。

2. 解き方の手順

まず、分母を因数分解する。

$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$

したがって、与えられた関数は

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)}$

部分分数分解を行う。

$\frac{1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ をかけると

$1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数を比較すると

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 1$

これらの連立方程式を解く。

$A = -B$ より、 $-(-B)+B+C = 2B+C = 0$.

$C=1-A$.

$2B + 1-A = 0$.

$2B + 1 + B = 0$.

$3B = -1$

$B = -\frac{1}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$C = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、

$\frac{1}{x^3+1} = \frac{1/3}{x+1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{x^2-x+1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right)$

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \int \left( \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} \right) dx$

$\frac{-x+2}{x^2-x+1} = \frac{-\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{3}{2}}{x^2-x+1} = -\frac{1}{2} \frac{2x-1}{x^2-x+1} + \frac{3}{2} \frac{1}{x^2-x+1}$

$x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$\int \frac{1}{x^2-x+1} dx = \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \arctan \left( \frac{x-\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{3}{4}}} \right) = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right)$

よって、

$\int \frac{1}{x^3+1} dx = \frac{1}{3} \left[ \ln|x+1| - \frac{1}{2} \ln|x^2-x+1| + \frac{3}{2} \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) \right] + C$

$= \frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3} \ln|x+1| - \frac{1}{6} \ln|x^2-x+1| + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) + C$