点 $(2,1)$ から放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ に引いた2本の接線と、この放物線が囲む図形の面積を求めます。

1. 問題の内容

点 $(2,1)$ から放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ に引いた2本の接線と、この放物線が囲む図形の面積を求めます。

2. 解き方の手順

ステップ1: 接線を求める

放物線 $y = x^2 - 3x + 4$ 上の点 $(t, t^2 - 3t + 4)$ における接線を考える。

$y' = 2x - 3$ より、接線の傾きは $2t - 3$ となる。

したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 - 3t + 4) = (2t - 3)(x - t)$

$y = (2t - 3)x - 2t^2 + 3t + t^2 - 3t + 4$

$y = (2t - 3)x - t^2 + 4$

この接線が点 $(2, 1)$ を通るので、

$1 = (2t - 3) \cdot 2 - t^2 + 4$

$1 = 4t - 6 - t^2 + 4$

$t^2 - 4t + 3 = 0$

$(t - 1)(t - 3) = 0$

$t = 1, 3$

したがって、接点は $(1, 2)$ と $(3, 4)$ である。

ステップ2: 接線の方程式を求める

$t = 1$ のとき、接線は $y = (2 \cdot 1 - 3)x - 1^2 + 4 = -x + 3$

$t = 3$ のとき、接線は $y = (2 \cdot 3 - 3)x - 3^2 + 4 = 3x - 5$

ステップ3: 面積を求める

求める面積は、放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積である。

$S = \int_{1}^{3} (x^2 - 3x + 4 - (-x + 3)) dx + \int_{1}^{3} (3x - 5 - (x^2 - 3x + 4)) dx$

それぞれの交点のx座標はt=1,3から1と3である。

放物線と接線$y = -x + 3$で囲まれた面積を$S_1$,放物線と接線$y = 3x - 5$で囲まれた面積を$S_2$とする。求める面積は、放物線と2つの接線によって囲まれた図形の面積なので、放物線と接線の交点のx座標における積分を計算すれば良い。

$S_1 = \int_{1}^{3} \{ -x + 3 - (x^2 - 3x + 4) \} dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 2x - 1) dx = \int_{1}^{3} -(x-1)^2 dx = [-\frac{1}{3}(x-1)^3]^3_1 = -\frac{8}{3} - 0 = -\frac{8}{3}$

絶対値をとって$|S_1| = \frac{4}{3}$

$S_2 = \int_{1}^{3} \{ x^2 - 3x + 4 - (3x - 5) \} dx = \int_{1}^{3} (x^2 - 6x + 9) dx = \int_{1}^{3} (x-3)^2 dx = [\frac{1}{3}(x-3)^3]^3_1 = 0 - (-\frac{8}{3}) = \frac{8}{3}$

絶対値をとって$|S_2| = \frac{4}{3}$

$S = |S_1| = \frac{4}{3}$.

また、$y = x^2 - 3x + 4$と2接線の間の面積は公式を利用して

$S = \frac{(3-1)^3}{6} = \frac{2^3}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

答えを求める積分は

$\int_{1}^{3} ( (3x - 5) - (-x + 3) ) dx - 2 \int_{1}^{3} ( x^2 - 3x + 4 ) dx = \int_{1}^{3} 4x - 8 dx = [2x^2 - 8x]_{1}^{3} = (18-24)-(2-8) = -6 -(-6) = 0$

接線の交点を求めます。

$-x + 3 = 3x - 5$

$4x = 8$

$x = 2$

$y = -2 + 3 = 1$

接線の交点は (2, 1)である。

接点 (1, 2), (3, 4)

$S = \frac{1}{6} (3 - 1)^3 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

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