与えられた関数を微分する問題です。 (5) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ (6) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right|$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(5) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$

(6) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right|$

2. 解き方の手順

(5) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ の場合:

* 対数の性質を利用して式を簡略化します。

$y = \log |x-1| - \log |x+1|$

* 各項を微分します。

$\frac{d}{dx} \log|x| = \frac{1}{x}$ を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$

* 分数をまとめます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2-1}$

(6) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2} \right|$ の場合:

* 合成関数の微分を行います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \log \left| \tan \frac{x}{2} \right| = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{d}{dx} \tan \frac{x}{2}$

* $\tan \frac{x}{2}$ の微分を行います。

$\frac{d}{dx} \tan x = \frac{1}{\cos^2 x}$ を利用します。

$\frac{d}{dx} \tan \frac{x}{2} = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}}$

* 元の式に代入します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\tan \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}$

* 三角関数の倍角の公式 $2\sin x \cos x = \sin 2x$ を利用します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x}$

* $\frac{1}{\sin x} = \csc x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \csc x$

3. 最終的な答え

(5) $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^2-1}$

(6) $\frac{dy}{dx} = \csc x$