与えられた関数の中から、$3/(x^3+1)$の積分を計算する必要がある。

1. 問題の内容

与えられた関数の中から、$3/(x^3+1)$の積分を計算する必要がある。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を部分分数分解することを試みる。

$x^3+1$は因数分解できる。

$x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$

したがって、被積分関数は以下のように書き換えられる。

$\frac{3}{x^3+1} = \frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)}$

部分分数分解を行うと、

$\frac{3}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$

両辺に$(x+1)(x^2-x+1)$を掛けると、

$3 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$

$3 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$3 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$

係数比較をすると、

$A+B = 0$

$-A+B+C = 0$

$A+C = 3$

$A+B = 0$より、$B = -A$

$-A+B+C = 0$に代入すると、$-A-A+C = 0$より、$-2A+C=0$

$A+C=3$と連立して解くと、

$A+C = 3$

$-2A+C = 0$

上の式から下の式を引くと、$3A = 3$より、$A = 1$

$C = 3-A = 3-1 = 2$

$B = -A = -1$

したがって、

$\frac{3}{x^3+1} = \frac{1}{x+1} + \frac{-x+2}{x^2-x+1} = \frac{1}{x+1} - \frac{x-2}{x^2-x+1}$

$\int \frac{3}{x^3+1}dx = \int \frac{1}{x+1}dx - \int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx$

ここで、$\int \frac{1}{x+1}dx = \ln|x+1| + C_1$

次に、$\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx$を計算する。

$x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$\frac{x-2}{x^2-x+1} = \frac{\frac{1}{2}(2x-1)-\frac{3}{2}}{x^2-x+1} = \frac{1}{2}\frac{2x-1}{x^2-x+1} - \frac{3}{2}\frac{1}{x^2-x+1}$

$\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1}dx$

$\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}dx = \ln|x^2-x+1| + C_2$

$\int \frac{1}{x^2-x+1}dx = \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}}dx = \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C_3$

よって、

$\int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx = \frac{1}{2}\ln|x^2-x+1| - \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C_4 = \frac{1}{2}\ln(x^2-x+1) - \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C_4$

したがって、

$\int \frac{3}{x^3+1}dx = \ln|x+1| - \frac{1}{2}\ln(x^2-x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

$= \ln|x+1| - \frac{1}{2}\ln(x^2-x+1) + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

$= \ln\frac{|x+1|}{\sqrt{x^2-x+1}} + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{3}{x^3+1}dx = \ln\frac{|x+1|}{\sqrt{x^2-x+1}} + \sqrt{3} \arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$