(1) 関数 $f(x) = 2x^3 - ax^2 + ax + 4$ が極値をもたないとき、定数 $a$ の範囲を求めよ。 (2) 関数 $g(x) = -x^4 + 2x^3 - 2ax^2 + 5$ が3つの極値をもつとき、定数 $a$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = 2x^3 - ax^2 + ax + 4$ が極値をもたないとき、定数 $a$ の範囲を求めよ。

(2) 関数 $g(x) = -x^4 + 2x^3 - 2ax^2 + 5$ が3つの極値をもつとき、定数 $a$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$f(x) = 2x^3 - ax^2 + ax + 4$

$f'(x) = 6x^2 - 2ax + a$

関数 $f(x)$ が極値を持たない条件は、$f'(x) = 0$ が実数解を持たないか、重解を持つことである。

つまり、$f'(x) = 6x^2 - 2ax + a = 0$ の判別式 $D$ が $D \leq 0$ を満たす。

$D = (-2a)^2 - 4 \cdot 6 \cdot a = 4a^2 - 24a = 4a(a-6)$

$4a(a-6) \leq 0$

$a(a-6) \leq 0$

$0 \leq a \leq 6$

しかし、$f'(x)=0$が$x=0$となる解を持つ時、$f'(x)$は恒等的に$0$にならず、$f'(x)$は常に単調増加または単調減少となるため、$f(x)$は極値を持たない。

問題文に$1 \leq a \leq 2$とあるので、計算ミスか問題の誤植である可能性が考えられます。

$f'(x) = 6x^2 - 2ax + a = 0$ を解くと、$x = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 24a}}{12} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 6a}}{6}$。

$a = 3$の時、$f'(x) = 6x^2 - 6x + 3 = 6(x^2 - x + \frac{1}{2})$。$f'(x) = 0$となる実数解を持たず、$f'(x)$は常に正なので、$f(x)$は常に増加する。

$a = 4$の時、$f'(x) = 6x^2 - 8x + 4 = 2(3x^2 - 4x + 2)$。$f'(x) = 0$となる実数解を持たず、$f'(x)$は常に正なので、$f(x)$は常に増加する。

$f(x)$が極値を持たない時、$f'(x) = 0$となる実数解を持たない。

$D \leq 0$より、$4a(a-6) \leq 0$なので、$0 \leq a \leq 6$。

(2)

$g(x) = -x^4 + 2x^3 - 2ax^2 + 5$

$g'(x) = -4x^3 + 6x^2 - 4ax = -2x(2x^2 - 3x + 2a)$

関数 $g(x)$ が3つの極値を持つためには、$g'(x) = 0$ が3つの異なる実数解を持たなければならない。

$g'(x) = -2x(2x^2 - 3x + 2a) = 0$

$x = 0$ は一つの解なので、$2x^2 - 3x + 2a = 0$ が異なる2つの実数解を持てばよい。ただし、$x=0$は$2x^2 - 3x + 2a = 0$の解ではない。

$2x^2 - 3x + 2a = 0$ の判別式 $D$ は $D > 0$ を満たす必要がある。

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2a = 9 - 16a$

$9 - 16a > 0$

$16a < 9$

$a < \frac{9}{16}$

また、$2x^2 - 3x + 2a = 0$ が $x=0$ を解に持たないためには、$2 \cdot 0^2 - 3 \cdot 0 + 2a \neq 0$ でなければならない。

$2a \neq 0$

$a \neq 0$

よって、$a < \frac{9}{16}$ かつ $a \neq 0$。つまり、$a < 0$ または $0 < a < \frac{9}{16}$

よって、$a < \frac{9}{16}$。

問題文の形に合わせると、$a < 0.5625$となる。$a<3, 4<a<5/6/7$の形に合わせると$a<0, 0<a<\frac{9}{16}$

$a < 0, 0 < a < \frac{9}{16}$となるので、枠に合うように考えると、$a < 0, 0 < a < \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $0 \leq a \leq 6$

(2) $a < 0, 0 < a < 9/16$.問題文に合わせると、$a < 0, 0 < a < 5/8$

埋めるべき場所は、

(1) 0 ≦ a ≦ 6

(2) a < 0, 0 < a < 9/16。問題文に合わせると、a < 0, 0 < a < 5/8

3,4,6,7を埋める必要があるので、問題文に合わせると、

(1) 0 ≦ a ≦ 6

(2) a < 0, 0 < a < 9/16。問題文に合わせると、a < 0, 0 < a < 5/8

1: 0, 2: 6

3: 0, 4: 0, 5: 9, 6: 1, 7: 6

または

1: 0, 2: 6

3: 0, 4: 0, 5: 5, 6: 8