与えられた微分方程式の一般解を求める問題です。具体的には、以下の微分方程式の一般解を求める必要があります。 (a) $y'' - 3y' - y = 0$ (b) $3y'' + 2y' - y = 0$ (c) $\frac{1}{2}y'' + 3y' - y = 0$

1. 問題の内容

与えられた微分方程式の一般解を求める問題です。具体的には、以下の微分方程式の一般解を求める必要があります。

(a) $y'' - 3y' - y = 0$

(b) $3y'' + 2y' - y = 0$

(c) $\frac{1}{2}y'' + 3y' - y = 0$

2. 解き方の手順

これらの微分方程式はすべて定数係数の線形同次微分方程式であるため、特性方程式を解くことで一般解を求めることができます。

(a) $y'' - 3y' - y = 0$の場合：

特性方程式は$r^2 - 3r - 1 = 0$です。この方程式の解は、解の公式より$r = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$となります。したがって、一般解は$y = C_1 e^{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}x} + C_2 e^{\frac{3 - \sqrt{13}}{2}x}$となります。

(b) $3y'' + 2y' - y = 0$の場合：

特性方程式は$3r^2 + 2r - 1 = 0$です。因数分解すると$(3r - 1)(r + 1) = 0$となるので、解は$r = \frac{1}{3}, -1$となります。したがって、一般解は$y = C_1 e^{\frac{1}{3}x} + C_2 e^{-x}$となります。

(c) $\frac{1}{2}y'' + 3y' - y = 0$の場合：

特性方程式は$\frac{1}{2}r^2 + 3r - 1 = 0$、すなわち$r^2 + 6r - 2 = 0$です。この方程式の解は、解の公式より$r = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 8}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{44}}{2} = -3 \pm \sqrt{11}$となります。したがって、一般解は$y = C_1 e^{(-3 + \sqrt{11})x} + C_2 e^{(-3 - \sqrt{11})x}$となります。

3. 最終的な答え

(a) $y = C_1 e^{\frac{3 + \sqrt{13}}{2}x} + C_2 e^{\frac{3 - \sqrt{13}}{2}x}$

(b) $y = C_1 e^{\frac{1}{3}x} + C_2 e^{-x}$

(c) $y = C_1 e^{(-3 + \sqrt{11})x} + C_2 e^{(-3 - \sqrt{11})x}$