問題は、以下の三角方程式・不等式を$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で解くことです。 (ア) $2\sin^2x + \cos x - 1 = 0$ (イ) $\sqrt{2}\cos x - 1 \leq 0$ (ウ) $\cos 2x > 3\sin x - 1$ (エ) $\tan x > \sqrt{3}$ (オ) $\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

1. 問題の内容

問題は、以下の三角方程式・不等式を$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で解くことです。

(ア) $2\sin^2x + \cos x - 1 = 0$

(イ) $\sqrt{2}\cos x - 1 \leq 0$

(ウ) $\cos 2x > 3\sin x - 1$

(エ) $\tan x > \sqrt{3}$

(オ) $\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

2. 解き方の手順

(ア) $2\sin^2x + \cos x - 1 = 0$

$\sin^2x = 1 - \cos^2x$ を代入すると、

$2(1-\cos^2x) + \cos x - 1 = 0$

$2 - 2\cos^2x + \cos x - 1 = 0$

$-2\cos^2x + \cos x + 1 = 0$

$2\cos^2x - \cos x - 1 = 0$

$(2\cos x + 1)(\cos x - 1) = 0$

よって、$\cos x = 1$ または $\cos x = -\frac{1}{2}$

$\cos x = 1$ のとき、$x = 0$

$\cos x = -\frac{1}{2}$ のとき、$x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

(イ) $\sqrt{2}\cos x - 1 \leq 0$

$\sqrt{2}\cos x \leq 1$

$\cos x \leq \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で、$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

したがって、$\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{7\pi}{4}$

(ウ) $\cos 2x > 3\sin x - 1$

$\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$ を代入すると、

$1 - 2\sin^2x > 3\sin x - 1$

$0 > 2\sin^2x + 3\sin x - 2$

$2\sin^2x + 3\sin x - 2 < 0$

$(2\sin x - 1)(\sin x + 2) < 0$

$-1 \leq \sin x \leq 1$ より、$\sin x + 2 > 0$ なので、

$2\sin x - 1 < 0$

$\sin x < \frac{1}{2}$

$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で、$\sin x = \frac{1}{2}$ となるのは $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

したがって、$0 \leq x < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < x < 2\pi$

(エ) $\tan x > \sqrt{3}$

$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で、$\tan x = \sqrt{3}$ となるのは $x = \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

したがって、$\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3} < x < \frac{3\pi}{2}$

(オ) $\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$x-\frac{\pi}{4} = t$ とおくと、

$\sin t > \frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{\pi}{4} \leq t < 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ の範囲で、$\sin t = \frac{\sqrt{2}}{2}$ となるのは $t = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

したがって、$\frac{\pi}{4} < t < \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{4} < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4}$

$\frac{\pi}{2} < x < \pi$

3. 最終的な答え

(ア) $x = 0, \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

(イ) $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{7\pi}{4}$

(ウ) $0 \leq x < \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6} < x < 2\pi$

(エ) $\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{2}, \frac{4\pi}{3} < x < \frac{3\pi}{2}$

(オ) $\frac{\pi}{2} < x < \pi$