関数 $y = \sin^{-1}x^2$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \sin^{-1}x^2$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分します。逆三角関数 $y = \sin^{-1} u$ の微分は $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ です。今回の問題では、$u = x^2$ なので、$\frac{du}{dx} = 2x$ です。したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}}$

次に、極値を求めるためには、$\frac{dy}{dx} = 0$ となる $x$ を探します。

$\frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} = 0$

この式が成立するのは、$2x = 0$ のときなので、$x = 0$ です。

次に、$x = 0$ の前後で $\frac{dy}{dx}$ の符号がどう変化するか調べます。$x$ の定義域は $-1 \le x^2 \le 1$ より $-1 \le x \le 1$ です。したがって $-\sqrt{1} \le x \le \sqrt{1}$となり、$-\sqrt{1} \le x \le \sqrt{1}$ の範囲で考えれば良いです。

$x < 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} < 0$

$x > 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} > 0$

したがって、$x = 0$ で極小値を取ります。

$x = 0$ のとき、$y = \sin^{-1} 0^2 = \sin^{-1} 0 = 0$

また、定義域の端点 $x = \pm 1$ についても考えます。

$x = \pm 1$ のとき、$y = \sin^{-1} (\pm 1)^2 = \sin^{-1} 1 = \frac{\pi}{2}$

$x = 0$ で極小値 $0$

$x = \pm 1$ で極大値 $\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$x=0$ のとき、極小値 $0$

$x=1$ および $x=-1$ のとき、極大値 $\frac{\pi}{2}$