与えられた2つの関数の極値を求める問題です。 (1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$ (2) $f(x, y) = xy(2 - x - y) = 2xy - x^2y - xy^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数の極値を求める問題です。

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$

(2) $f(x, y) = xy(2 - x - y) = 2xy - x^2y - xy^2$

2. 解き方の手順

(1) $f(x, y) = x^2 - xy + y^2 - 4x - y$

ステップ1: 偏導関数を求める

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x - y - 4$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = -x + 2y - 1$

ステップ2: 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解く

$2x - y - 4 = 0$

$-x + 2y - 1 = 0$

これを解くと、$x = 3, y = 2$

ステップ3: 2階偏導関数を求める

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = -1$

ステップ4: ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算する

$D = (2)(2) - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$

$f_{xx} = 2 > 0$

したがって、$f(3, 2)$ は極小値をとる。

ステップ5: 極小値を求める

$f(3, 2) = (3)^2 - (3)(2) + (2)^2 - 4(3) - (2) = 9 - 6 + 4 - 12 - 2 = -7$

(2) $f(x, y) = 2xy - x^2y - xy^2$

ステップ1: 偏導関数を求める

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2y - 2xy - y^2$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x - x^2 - 2xy$

ステップ2: 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解く

$y(2 - 2x - y) = 0$

$x(2 - x - 2y) = 0$

場合分け：

(i) $x=0$ のとき、$y(2-y)=0$ より $y=0$ または $y=2$.

(ii) $y=0$ のとき、$x(2-x)=0$ より $x=0$ または $x=2$.

(iii) $x\neq 0$ かつ $y \neq 0$ のとき、$2 - 2x - y = 0$ かつ $2 - x - 2y = 0$.

$2x + y = 2$

$x + 2y = 2$

これを解くと、$x = \frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}$.

したがって、停留点は $(0, 0), (2, 0), (0, 2), (\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$

ステップ3: 2階偏導関数を求める

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = -2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -2x$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 - 2x - 2y$

ステップ4: ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算する

(i) $(0, 0)$ のとき、$f_{xx} = 0, f_{yy} = 0, f_{xy} = 2$. $D = (0)(0) - (2)^2 = -4 < 0$. よって、極値ではない。

(ii) $(2, 0)$ のとき、$f_{xx} = 0, f_{yy} = -4, f_{xy} = -2$. $D = (0)(-4) - (-2)^2 = -4 < 0$. よって、極値ではない。

(iii) $(0, 2)$ のとき、$f_{xx} = -4, f_{yy} = 0, f_{xy} = -2$. $D = (-4)(0) - (-2)^2 = -4 < 0$. よって、極値ではない。

(iv) $(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ のとき、$f_{xx} = -\frac{4}{3}, f_{yy} = -\frac{4}{3}, f_{xy} = 2 - 2(\frac{2}{3}) - 2(\frac{2}{3}) = -\frac{2}{3}$. $D = (-\frac{4}{3})(-\frac{4}{3}) - (-\frac{2}{3})^2 = \frac{16}{9} - \frac{4}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3} > 0$.

$f_{xx} = -\frac{4}{3} < 0$. よって、$f(\frac{2}{3}, \frac{2}{3})$ は極大値をとる。

ステップ5: 極大値を求める

$f(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})(\frac{2}{3})(2 - \frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = \frac{4}{9}(2 - \frac{4}{3}) = \frac{4}{9}(\frac{2}{3}) = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

(1) 極小値：$f(3, 2) = -7$

(2) 極大値：$f(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}) = \frac{8}{27}$