関数 $y = (\log x)^x$ の導関数を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = (\log x)^x$ の導関数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln((\log x)^x) = x \ln(\log x)$

次に、両辺を $x$ で微分します。

左辺は連鎖律より、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$

となります。右辺は積の微分法を用います。

$(uv)' = u'v + uv'$ であり、$u=x$, $v=\ln(\log x)$ とすると、

$u' = 1$

$v' = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \log x}$

よって、右辺の微分は

$1 \cdot \ln(\log x) + x \cdot \frac{1}{x \log x} = \ln(\log x) + \frac{1}{\log x}$

したがって、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln(\log x) + \frac{1}{\log x}$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \ln(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

$y = (\log x)^x$ を代入して、

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \ln(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\log x)^x \left( \ln(\log x) + \frac{1}{\log x} \right)$