与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$ を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は、$e$ の定義を用いることで計算できます。 $e$ の定義は、

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e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n

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で与えられます。

与えられた極限を $e$ の定義の形に近づけるために、変数を置換します。

$u = \frac{x}{2}$ とおくと、$x = 2u$ となり、$x \to \infty$ のとき $u \to \infty$ となります。したがって、

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\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{2}{2u}\right)^{2u} = \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2u}

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ここで、指数法則を用いて式を変形します。

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\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2u} = \lim_{u \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right]^2

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$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^u = e$ であるので、

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\lim_{u \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right]^2 = \left[\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^u\right]^2 = e^2

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3. 最終的な答え

$e^2$