問題は、次の極限を求めることです。 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x - \cos x}{x^2}$

1. 問題の内容

問題は、次の極限を求めることです。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x - \cos x}{x^2}$

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理を2回適用します。

まず、$x=0$を代入すると、分子は$e^0 - \sin 0 - \cos 0 = 1 - 0 - 1 = 0$、分母は$0^2 = 0$となり、$\frac{0}{0}$の不定形です。

したがって、ロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx}(e^x - \sin x - \cos x) = e^x - \cos x + \sin x$

分母の微分：

$\frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x + \sin x}{2x}$

$x=0$を代入すると、分子は$e^0 - \cos 0 + \sin 0 = 1 - 1 + 0 = 0$、分母は$2(0) = 0$となり、再び$\frac{0}{0}$の不定形です。

もう一度ロピタルの定理を適用します。分子と分母をそれぞれ微分します。

分子の微分：

$\frac{d}{dx}(e^x - \cos x + \sin x) = e^x + \sin x + \cos x$

分母の微分：

$\frac{d}{dx}(2x) = 2$

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x + \cos x}{2}$

$x=0$を代入すると、分子は$e^0 + \sin 0 + \cos 0 = 1 + 0 + 1 = 2$、分母は$2$となります。

したがって、極限は$\frac{2}{2} = 1$です。

3. 最終的な答え

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