3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 3 = 0$ の実数解の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x) = x^3 - 6x + 3$ を考える。

この関数の導関数を計算する。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$3x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

したがって、関数 $f(x)$ は $x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ で極値をとる。

$x = -\sqrt{2}$ のとき、

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 3 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 3 = 4\sqrt{2} + 3 > 0$

$x = \sqrt{2}$ のとき、

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 3 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 3 = -4\sqrt{2} + 3 < 0$

($4\sqrt{2} = \sqrt{32} > \sqrt{9} = 3$ より)

$f(-\infty) = -\infty$

$f(+\infty) = +\infty$

$f(-\sqrt{2}) > 0$ であり、$f(+\infty) = +\infty$ であることから、$-\sqrt{2}$ より大きい範囲に少なくとも1つの実数解を持つ。

$f(\sqrt{2}) < 0$ であることから、$+\sqrt{2}$ より大きい範囲にも少なくとも1つの実数解を持つ。

$f(-\infty) = -\infty$ であり、$f(-\sqrt{2}) > 0$ であることから、$-\infty$ から $-\sqrt{2}$ の間に少なくとも1つの実数解を持つ。

したがって、$f(x)$ は異なる3つの実数解を持つ。

3. 最終的な答え

3個