曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 $(1, 0)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 $(1, 0)$ から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = 2x + 2$

次に、曲線上の点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ における接線を考えます。この点での接線の傾きは $2t + 2$ です。したがって、接線の方程式は

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

この接線が点 $(1, 0)$ を通るので、この座標を代入します。

$0 - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(1 - t)$

$-t^2 - 2t - 1 = 2t + 2 - 2t^2 - 2t$

$-t^2 - 2t - 1 = 2 - 2t^2$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

よって、$t = 3$ または $t = -1$ です。

$t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 + 2\cdot3 + 1) = (3, 16)$ であり、接線の傾きは $2\cdot3 + 2 = 8$ です。接線の方程式は

$y - 16 = 8(x - 3)$

$y = 8x - 24 + 16$

$y = 8x - 8$

$t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1)^2 + 2\cdot(-1) + 1) = (-1, 0)$ であり、接線の傾きは $2\cdot(-1) + 2 = 0$ です。接線の方程式は

$y - 0 = 0(x - (-1))$

$y = 0$

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y = 8x - 8$ のとき、接点は $(3, 16)$

接線の方程式が $y = 0$ のとき、接点は $(-1, 0)$