与えられた関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、$y = f^{-1}(x)$ のグラフを描く問題です。具体的には、以下の2つの関数について逆関数を求めます。 (1) $f(x) = -2^{x-1}$ (2) $f(x) = \frac{x-3}{2x+1}$ グラフを描く部分は指示のみであり、ここでは逆関数を求める部分を扱います。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ の逆関数 $f^{-1}(x)$ を求め、$y = f^{-1}(x)$ のグラフを描く問題です。具体的には、以下の2つの関数について逆関数を求めます。

(1) $f(x) = -2^{x-1}$

(2) $f(x) = \frac{x-3}{2x+1}$

グラフを描く部分は指示のみであり、ここでは逆関数を求める部分を扱います。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -2^{x-1}$ の逆関数を求める。

* $y = -2^{x-1}$ と置く。

* $x$ について解くために、$y$ が負の値であることを確認する。

* 両辺に $-1$ を掛けて、 $-y = 2^{x-1}$ とする。

* 両辺の対数を取る（底は 2 とする）： $\log_2(-y) = x - 1$

* $x = \log_2(-y) + 1$

* $x$ と $y$ を入れ替えて、$f^{-1}(x) = \log_2(-x) + 1$

(2) $f(x) = \frac{x-3}{2x+1}$ の逆関数を求める。

* $y = \frac{x-3}{2x+1}$ と置く。

* $x$ について解く。まず、両辺に $2x+1$ を掛ける: $y(2x+1) = x-3$

* 展開して、$2xy + y = x - 3$

* $x$ に関する項を一方に集める: $2xy - x = -3 - y$

* $x$ でくくる: $x(2y-1) = -3 - y$

* $x = \frac{-3-y}{2y-1}$

* $x$ と $y$ を入れ替えて、$f^{-1}(x) = \frac{-3-x}{2x-1}$

分子と分母に-1をかけることによって

$f^{-1}(x) = \frac{x+3}{1-2x}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = -2^{x-1}$ の逆関数は $f^{-1}(x) = \log_2(-x) + 1$

(2) $f(x) = \frac{x-3}{2x+1}$ の逆関数は $f^{-1}(x) = \frac{x+3}{1-2x}$