$a > 0$ とする。サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi)$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の表面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi)$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる回転体の表面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

回転体の表面積の公式は、パラメータ表示された曲線について

$S = 2\pi \int_a^b y \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

である。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt} (a(t - \sin t)) = a(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} (a(1 - \cos t)) = a \sin t$

次に、$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}$ を計算する。

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{(a(1 - \cos t))^2 + (a \sin t)^2}$

$= \sqrt{a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + a^2 \sin^2 t}$

$= \sqrt{a^2(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t)}$

$= \sqrt{a^2(2 - 2\cos t)}$

$= \sqrt{2a^2(1 - \cos t)}$

$= \sqrt{2a^2(2\sin^2(\frac{t}{2}))}$

$= \sqrt{4a^2\sin^2(\frac{t}{2})}$

$= 2a|\sin(\frac{t}{2})|$

$0 \leq t \leq 2\pi$ より $0 \leq \frac{t}{2} \leq \pi$ なので、$\sin(\frac{t}{2}) \geq 0$。したがって、$|\sin(\frac{t}{2})| = \sin(\frac{t}{2})$。

よって、$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = 2a\sin(\frac{t}{2})$

次に、表面積 $S$ を計算する。

$S = 2\pi \int_0^{2\pi} y \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

$= 2\pi \int_0^{2\pi} a(1 - \cos t) \cdot 2a\sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 4\pi a^2 \int_0^{2\pi} (1 - \cos t) \sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 4\pi a^2 \int_0^{2\pi} (1 - (1 - 2\sin^2(\frac{t}{2}))) \sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 4\pi a^2 \int_0^{2\pi} (2\sin^2(\frac{t}{2})) \sin(\frac{t}{2}) dt$

$= 8\pi a^2 \int_0^{2\pi} \sin^3(\frac{t}{2}) dt$

ここで、$u = \frac{t}{2}$ と置換すると、$t = 2u$, $dt = 2du$。

$t: 0 \to 2\pi$ のとき、$u: 0 \to \pi$。

$S = 8\pi a^2 \int_0^{\pi} \sin^3(u) \cdot 2 du$

$= 16\pi a^2 \int_0^{\pi} \sin^3(u) du$

$\int_0^{\pi} \sin^3(u) du = \int_0^{\pi} \sin u (1 - \cos^2 u) du = \int_0^{\pi} \sin u du - \int_0^{\pi} \sin u \cos^2 u du$

$\int_0^{\pi} \sin u du = [-\cos u]_0^{\pi} = -\cos \pi + \cos 0 = -(-1) + 1 = 2$

$\int_0^{\pi} \sin u \cos^2 u du = \int_{-1}^{1} -v^2 dv = [\frac{-v^3}{3}]_{-1}^{1} = \frac{-1}{3} - \frac{1}{3} = -\frac{2}{3}$. ただし、$v = \cos u$とした。$-dv = \sin u du$

$\int_0^{\pi} \sin u \cos^2 u du = \left[ -\frac{\cos^3 u}{3} \right]_0^\pi = -\frac{(-1)^3}{3} - \left( -\frac{1^3}{3} \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

したがって、$\int_0^{\pi} \sin^3(u) du = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$S = 16\pi a^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{64\pi a^2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64\pi a^2}{3}$