与えられた関数の積分を求めます。具体的には、$\frac{1}{x^3 + 1}$ の積分を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数の積分を求めます。具体的には、$\frac{1}{x^3 + 1}$ の積分を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた関数を部分分数分解します。

$x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$

したがって、

$\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{A}{x + 1} + \frac{Bx + C}{x^2 - x + 1}$

両辺に $x^3 + 1$ をかけると、

$1 = A(x^2 - x + 1) + (Bx + C)(x + 1)$

$1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$

$1 = (A + B)x^2 + (-A + B + C)x + (A + C)$

係数を比較して、

$A + B = 0$

$-A + B + C = 0$

$A + C = 1$

$A = 1 - C$ を $A + B = 0$ に代入すると、

$1 - C + B = 0$, $B = C - 1$

これを $-A + B + C = 0$ に代入すると、

$-(1 - C) + (C - 1) + C = 0$

$-1 + C + C - 1 + C = 0$

$3C = 2$, $C = \frac{2}{3}$

$A = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$

したがって、

$\frac{1}{x^3 + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{x + 1} + \frac{-\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}}{x^2 - x + 1} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1}\right)$

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x + 1} dx + \frac{1}{3} \int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} dx$

$\int \frac{1}{x + 1} dx = \ln |x + 1|$

$\int \frac{-x + 2}{x^2 - x + 1} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}(2x - 1) + \frac{3}{2}}{x^2 - x + 1} dx = -\frac{1}{2} \int \frac{2x - 1}{x^2 - x + 1} dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x^2 - x + 1} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{3}{2} \int \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$= -\frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}$

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x + 1| + \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{2} \ln |x^2 - x + 1| + \sqrt{3} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}}\right) + C$

$= \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{x^3 + 1} dx = \frac{1}{3} \ln |x + 1| - \frac{1}{6} \ln |x^2 - x + 1| + \frac{\sqrt{3}}{3} \arctan \frac{2x - 1}{\sqrt{3}} + C$