次の関数の導関数を求めよ。 (1) $\arcsin x + \arccos x$ (2) $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} (a \neq 0)$ (3) $\arcsin \frac{x}{a} (a > 0)$ (4) $\arctan x + \arctan \frac{1}{x}$ (5) $2\arcsin \sqrt{x}$ (6) $\arctan \frac{1+x}{1-x}$

了解いたしました。問題2.3.2の(1)から(6)までと、問題2.3.3の(1)から(4)までのすべての問題について、解答を作成します。

**問題2.3.2**

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めよ。

(1) $\arcsin x + \arccos x$

(2) $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} (a \neq 0)$

(3) $\arcsin \frac{x}{a} (a > 0)$

(4) $\arctan x + \arctan \frac{1}{x}$

(5) $2\arcsin \sqrt{x}$

(6) $\arctan \frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

(1) $\arcsin x + \arccos x$

$\arcsin x$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、$\arccos x$ の導関数は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。

したがって、$(\arcsin x + \arccos x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

(2) $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} (a \neq 0)$

$\arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ である。

したがって、$\left(\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}\right)' = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1 + (\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a^2 + x^2}$

(3) $\arcsin \frac{x}{a} (a > 0)$

$\arcsin x$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。

したがって、$(\arcsin \frac{x}{a})' = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{\sqrt{a^2 - x^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

(4) $\arctan x + \arctan \frac{1}{x}$

$\arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ である。

$\arctan \frac{1}{x}$ の導関数は $\frac{1}{1+(\frac{1}{x})^2} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{1+\frac{1}{x^2}} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = \frac{x^2}{x^2+1} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2+1}$

したがって、$(\arctan x + \arctan \frac{1}{x})' = \frac{1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 0$

(5) $2\arcsin \sqrt{x}$

$\arcsin x$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。

したがって、$(2\arcsin \sqrt{x})' = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1-(\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$

(6) $\arctan \frac{1+x}{1-x}$

$\arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ である。

したがって、$(\arctan \frac{1+x}{1-x})' = \frac{1}{1 + (\frac{1+x}{1-x})^2} \cdot \frac{(1-x) \cdot 1 - (1+x) \cdot (-1)}{(1-x)^2} = \frac{1}{1 + \frac{(1+x)^2}{(1-x)^2}} \cdot \frac{1-x+1+x}{(1-x)^2} = \frac{1}{\frac{(1-x)^2+(1+x)^2}{(1-x)^2}} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{(1-x)^2}{(1-x)^2+(1+x)^2} \cdot \frac{2}{(1-x)^2} = \frac{2}{(1-x)^2+(1+x)^2} = \frac{2}{1-2x+x^2 + 1+2x+x^2} = \frac{2}{2+2x^2} = \frac{1}{1+x^2}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{1}{a^2 + x^2}$

(3) $\frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

(4) 0

(5) $\frac{1}{\sqrt{x(1-x)}}$

(6) $\frac{1}{1+x^2}$

**問題2.3.3**

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めよ。

(1) $(x^2 + 1)^3(3x + 2)$

(2) $((x^5 + 1)^4 + 2)^3$

(3) $-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$

(4) $e^{\sin(2x+1)}$

2. 解き方の手順

(1) $(x^2 + 1)^3(3x + 2)$

積の微分公式を用いる: $(uv)' = u'v + uv'$

$u = (x^2 + 1)^3, v = 3x + 2$

$u' = 3(x^2 + 1)^2 \cdot 2x = 6x(x^2 + 1)^2$

$v' = 3$

$(x^2 + 1)^3(3x + 2) = 6x(x^2 + 1)^2(3x+2) + 3(x^2+1)^3 = 3(x^2+1)^2 [2x(3x+2) + (x^2+1)] = 3(x^2+1)^2[6x^2 + 4x + x^2 + 1] = 3(x^2+1)^2(7x^2 + 4x + 1)$

(2) $((x^5 + 1)^4 + 2)^3$

合成関数の微分を用いる

$3((x^5 + 1)^4 + 2)^2 \cdot (4(x^5 + 1)^3 \cdot 5x^4) = 3((x^5 + 1)^4 + 2)^2 \cdot 20x^4(x^5 + 1)^3 = 60x^4((x^5 + 1)^4 + 2)^2 (x^5 + 1)^3$

(3) $-\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$

商の微分公式を用いる: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = \sqrt{x^2+1}, v = x$

$u' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$v' = 1$

$-\left(\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\right)' = -\left(\frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot x - \sqrt{x^2+1} \cdot 1}{x^2}\right) = -\left(\frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1}}{x^2}\right) = -\left(\frac{\frac{x^2-(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2}\right) = -\left(\frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2}\right) = \frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$

(4) $e^{\sin(2x+1)}$

合成関数の微分を用いる

$(e^{\sin(2x+1)})' = e^{\sin(2x+1)} \cdot \cos(2x+1) \cdot 2 = 2e^{\sin(2x+1)}\cos(2x+1)$

3. 最終的な答え

(1) $3(x^2+1)^2(7x^2 + 4x + 1)$

(2) $60x^4((x^5 + 1)^4 + 2)^2 (x^5 + 1)^3$

(3) $\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$

(4) $2e^{\sin(2x+1)}\cos(2x+1)$