$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ が与えられたとき、以下の関係式を示す。 $I = \frac{1}{b}(-e^{ax} \cos bx + aJ)$ $J = \frac{1}{b}(e^{ax} \sin bx - aI)$ ただし、$a, b$ は0でない定数とする。また、$I, J$ を求める。

## 問題5について

1. 問題の内容

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ が与えられたとき、以下の関係式を示す。

$I = \frac{1}{b}(-e^{ax} \cos bx + aJ)$

$J = \frac{1}{b}(e^{ax} \sin bx - aI)$

ただし、$a, b$ は0でない定数とする。また、$I, J$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ に対して部分積分を行う。

$u = \sin bx, dv = e^{ax} dx$ とすると、$du = b \cos bx \, dx, v = \frac{1}{a}e^{ax}$となる。

よって、$I = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \int \frac{1}{a}e^{ax} b \cos bx \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} \int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$

次に、 $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ に対して部分積分を行う。

$u = \cos bx, dv = e^{ax} dx$ とすると、$du = -b \sin bx \, dx, v = \frac{1}{a}e^{ax}$となる。

よって、$J = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx - \int \frac{1}{a}e^{ax} (-b \sin bx) \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} \int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$

これより、$I = \frac{1}{a}e^{ax} \sin bx - \frac{b}{a} J$ と $J = \frac{1}{a}e^{ax} \cos bx + \frac{b}{a} I$ の連立方程式を得る。

これを解く。

$aI = e^{ax} \sin bx - bJ$

$aJ = e^{ax} \cos bx + bI$

上式に$a$を掛けて、下式に$b$を掛けると、

$a^2I = ae^{ax} \sin bx - abJ$

$b^2I = abJ - be^{ax} \cos bx$

足し合わせると、$(a^2 + b^2)I = ae^{ax} \sin bx - be^{ax} \cos bx$

よって、$I = \frac{e^{ax}(a \sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2}$

同様に、

$a^2J = ae^{ax} \cos bx + abI$

$b^2J = be^{ax} \sin bx - abI$

足し合わせると、$(a^2 + b^2)J = ae^{ax} \cos bx + be^{ax} \sin bx$

よって、$J = \frac{e^{ax}(a \cos bx + b \sin bx)}{a^2 + b^2}$

次に、問題文にある式を導く。

$aI = e^{ax} \sin bx - bJ$ より、$J = \frac{1}{b}(e^{ax} \sin bx - aI)$

$aJ = e^{ax} \cos bx + bI$ より、$I = \frac{1}{b}(-e^{ax} \cos bx + aJ)$

3. 最終的な答え

$I = \frac{e^{ax}(a \sin bx - b \cos bx)}{a^2 + b^2}$

$J = \frac{e^{ax}(a \cos bx + b \sin bx)}{a^2 + b^2}$

$I = \frac{1}{b}(-e^{ax} \cos bx + aJ)$

$J = \frac{1}{b}(e^{ax} \sin bx - aI)$

## 問題6について

1. 問題の内容

$I_n = \int \frac{dx}{(x^2 + A)^n}$ (A ≠ 0, nは自然数) は、漸化式

$I_n = \frac{1}{2(n-1)A} \left\{ \frac{x}{(x^2+A)^{n-1}} + (2n-3)I_{n-1} \right\}$ ($n \geq 2$)

を満たすことを示せ。また、この漸化式を用いて $\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$I_n = \int \frac{dx}{(x^2 + A)^n}$ に対して部分積分を行うことを考える。

$I_n = \int \frac{1}{(x^2+A)^n}dx = \int \frac{x^2+A-x^2}{(x^2+A)^n} dx = \int \frac{1}{(x^2+A)^{n-1}} dx - \int \frac{x^2}{(x^2+A)^n} dx = I_{n-1} - \int \frac{x^2}{(x^2+A)^n} dx$

$\int \frac{x^2}{(x^2+A)^n} dx$ に対して、$u = x$、$dv = \frac{x}{(x^2+A)^n} dx$ とすると、$du = dx$、$v = \int \frac{x}{(x^2+A)^n} dx = \frac{1}{2} \int \frac{d(x^2+A)}{(x^2+A)^n} = \frac{1}{2}\frac{(x^2+A)^{-n+1}}{-n+1} = \frac{1}{2(1-n)(x^2+A)^{n-1}}$ となる。

$\int \frac{x^2}{(x^2+A)^n}dx = uv - \int v du = \frac{x}{2(1-n)(x^2+A)^{n-1}} - \int \frac{1}{2(1-n)(x^2+A)^{n-1}} dx = \frac{x}{2(1-n)(x^2+A)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)}I_{n-1}$

$I_n = I_{n-1} - \left( \frac{x}{2(1-n)(x^2+A)^{n-1}} - \frac{1}{2(1-n)}I_{n-1}\right) = I_{n-1} + \frac{x}{2(n-1)(x^2+A)^{n-1}} - \frac{1}{2(n-1)}I_{n-1}$

$I_n = \frac{x}{2(n-1)(x^2+A)^{n-1}} + \left(1 - \frac{1}{2(n-1)}\right)I_{n-1} = \frac{x}{2(n-1)(x^2+A)^{n-1}} + \left( \frac{2(n-1) - 1}{2(n-1)}\right)I_{n-1} = \frac{x}{2(n-1)(x^2+A)^{n-1}} + \frac{2n-3}{2(n-1)} I_{n-1}$

$\int \frac{dx}{(x^2+A)^n} = \frac{1}{2(n-1)A} \left\{ \frac{x}{(x^2+A)^{n-1}} + (2n-3)I_{n-1} \right\}$

$\int \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求める。この場合は、$A = 1, n = 2$ である。

$I_2 = \frac{1}{2(2-1)(1)} \left\{ \frac{x}{(x^2+1)^{2-1}} + (2(2)-3)I_{2-1} \right\} = \frac{1}{2} \left\{ \frac{x}{x^2+1} + I_1 \right\}$

$I_1 = \int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x + C$

$I_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2+1} + \arctan x \right) + C$

3. 最終的な答え

$I_n = \frac{1}{2(n-1)A} \left\{ \frac{x}{(x^2+A)^{n-1}} + (2n-3)I_{n-1} \right\}$

$\int \frac{dx}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{x^2+1} + \arctan x \right) + C$