次の2つの関数の導関数を求めます。 (1) $arcsin(x) + arccos(x)$ (2) $\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})$ (ただし、$a \neq 0$)

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1. 問題の内容

次の2つの関数の導関数を求めます。

(1) $arcsin(x) + arccos(x)$

(2) $\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})$ (ただし、$a \neq 0$)

2. 解き方の手順

(1) $arcsin(x) + arccos(x)$ の導関数を求める。

まず、$arcsin(x)$ と $arccos(x)$ の導関数をそれぞれ求める。

$arcsin(x)$ の導関数は $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であり、$arccos(x)$ の導関数は $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ である。

したがって、$arcsin(x) + arccos(x)$ の導関数は、

$\frac{d}{dx}(arcsin(x) + arccos(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0$

(2) $\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})$ の導関数を求める。

$arctan(x)$ の導関数は $\frac{1}{1+x^2}$ である。

$\frac{x}{a}$ を $u$ と置くと、$\frac{d}{dx}(\frac{x}{a}) = \frac{1}{a}$

したがって、合成関数の微分より、

$\frac{d}{dx}(\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})) = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2 + x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $0$

(2) $\frac{1}{a^2 + x^2}$