問題2.3.2の(2)について、関数 $f(x) = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}}$ (ただし、$a \neq 0$) の導関数を求める。

1. 問題の内容

問題2.3.2の(2)について、関数 $f(x) = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}}$ (ただし、$a \neq 0$) の導関数を求める。

2. 解き方の手順

$\arctan{x}$ の導関数が $\frac{1}{1+x^2}$ であることを利用する。

関数 $f(x) = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}}$ を微分する。

まず、$\frac{x}{a}$を$u$とおくと、$u = \frac{x}{a}$である。

$f(x) = \frac{1}{a} \arctan{u}$となる。

$\frac{df}{dx} = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ (合成関数の微分)を用いる。

$\frac{df}{du} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+u^2} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2}$

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{a}$

よって、

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{1+(\frac{x}{a})^2} \cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{1+\frac{x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{1}{\frac{a^2+x^2}{a^2}} = \frac{1}{a^2} \cdot \frac{a^2}{a^2+x^2}$

$\frac{df}{dx} = \frac{1}{a^2+x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{a^2+x^2}$