$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で、$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} \geq 1$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

1. 問題の内容

$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で、$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} \geq 1$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

三角関数の合成を利用して、不等式を解きやすくします。

まず、$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x}$ を合成します。

$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} = R\sin(x + \alpha)$ とおくと、

$R\cos{\alpha} = \sqrt{3}$

$R\sin{\alpha} = 1$

$R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$R = 2$ (∵ $R > 0$)

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin{\alpha} = \frac{1}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

元の不等式は $2\sin(x + \frac{\pi}{6}) \geq 1$ と書き換えられます。

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) \geq \frac{1}{2}$

ここで、$t = x + \frac{\pi}{6}$ とおくと、$\frac{\pi}{6} \leq t < \frac{13\pi}{6}$ であり、$\sin{t} \geq \frac{1}{2}$ を満たす $t$ の範囲を求めます。

$\sin{t} = \frac{1}{2}$ を満たす $t$ は $t = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$ です。

$\sin{t} \geq \frac{1}{2}$ となるのは、$\frac{\pi}{6} \leq t \leq \frac{5\pi}{6}$ または $\frac{13\pi}{6} = 2\pi + \frac{\pi}{6}$ であり、$2\pi$ 周期であるため $\frac{13\pi}{6} > t > \frac{13\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6}$ となります。

$\frac{\pi}{6} \leq t \leq \frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{6} \leq \frac{5\pi}{6}$

$0 \leq x \leq \frac{4\pi}{6}$

$0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$0 \leq x \leq \frac{2\pi}{3}$