次の3つの関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを調べます。 (1) $f(x, y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ $((x, y) \neq (0, 0))$, $f(0, 0) = 0$ (2) $f(x, y) = \frac{xy}{\sin(x^2 + y^2)}$ $((x, y) \neq (0, 0))$, $f(0, 0) = 0$ (3) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ $((x, y) \neq (0, 0))$, $f(0, 0) = 0$

1. 問題の内容

次の3つの関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを調べます。

(1) $f(x, y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ $((x, y) \neq (0, 0))$, $f(0, 0) = 0$

(2) $f(x, y) = \frac{xy}{\sin(x^2 + y^2)}$ $((x, y) \neq (0, 0))$, $f(0, 0) = 0$

(3) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ $((x, y) \neq (0, 0))$, $f(0, 0) = 0$

2. 解き方の手順

関数の連続性を調べるには、極限 $\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y)$ が存在し、その値が $f(0, 0)$ と一致するかどうかを確認します。極座標変換 $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$ を用いて極限を計算します。

(1) $f(x, y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ の場合：

極座標変換を行うと

$f(r \cos \theta, r \sin \theta) = \frac{r^2 \cos^2 \theta}{\sqrt{r^2}} = \frac{r^2 \cos^2 \theta}{r} = r \cos^2 \theta$.

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} r \cos^2 \theta = 0$.

これは $f(0, 0) = 0$ と一致するので、$f(x, y)$ は原点で連続です。

(2) $f(x, y) = \frac{xy}{\sin(x^2 + y^2)}$ の場合：

極座標変換を行うと

$f(r \cos \theta, r \sin \theta) = \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta}{\sin(r^2)}$.

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta}{\sin(r^2)}$.

$\lim_{r \to 0} \frac{\sin(r^2)}{r^2} = 1$ であるから、

$\lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta}{\sin(r^2)} = \lim_{r \to 0} \frac{r^2 \cos \theta \sin \theta}{r^2} = \cos \theta \sin \theta$.

この極限値は $\theta$ に依存するので、極限は存在しません。したがって、$f(x, y)$ は原点で不連続です。

(3) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 + y^2}$ の場合：

極座標変換を行うと

$f(r \cos \theta, r \sin \theta) = \frac{r^3 \cos \theta \sin^2 \theta}{r^2} = r \cos \theta \sin^2 \theta$.

$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = \lim_{r \to 0} r \cos \theta \sin^2 \theta = 0$.

これは $f(0, 0) = 0$ と一致するので、$f(x, y)$ は原点で連続です。

3. 最終的な答え

(1) 連続

(2) 不連続

(3) 連続