与えられた関数を積分する問題です。ここでは、(1), (3), (4)の関数について不定積分を求めます。 (1) $x^2 e^x$ (3) $e^x \cos x$ (4) $\frac{\log x}{x^2}$

はい、承知いたしました。指定された形式に従い、問題のいくつかについて積分を計算します。

1. 問題の内容

与えられた関数を積分する問題です。ここでは、(1), (3), (4)の関数について不定積分を求めます。

(1) $x^2 e^x$

(3) $e^x \cos x$

(4) $\frac{\log x}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 e^x$ の積分

部分積分を2回用います。

$\int x^2 e^x dx = \int x^2 (e^x)' dx = x^2 e^x - \int (x^2)' e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx$

次に、$\int 2x e^x dx$ を計算します。

$\int 2x e^x dx = 2 \int x e^x dx = 2 \int x (e^x)' dx = 2 (x e^x - \int (x)' e^x dx) = 2 (x e^x - \int e^x dx) = 2 (x e^x - e^x) = 2xe^x - 2e^x$

したがって、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - (2xe^x - 2e^x) = x^2 e^x - 2xe^x + 2e^x = (x^2 - 2x + 2) e^x + C$

(3) $e^x \cos x$ の積分

部分積分を2回用います。

$I = \int e^x \cos x dx = \int (e^x)' \cos x dx = e^x \cos x - \int e^x (\cos x)' dx = e^x \cos x - \int e^x (-\sin x) dx = e^x \cos x + \int e^x \sin x dx$

次に、$\int e^x \sin x dx$ を計算します。

$\int e^x \sin x dx = \int (e^x)' \sin x dx = e^x \sin x - \int e^x (\sin x)' dx = e^x \sin x - \int e^x \cos x dx = e^x \sin x - I$

したがって、

$I = e^x \cos x + e^x \sin x - I$

$2I = e^x (\cos x + \sin x)$

$I = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

(4) $\frac{\log x}{x^2}$ の積分

部分積分を用います。

$\int \frac{\log x}{x^2} dx = \int \log x (x^{-2}) dx = \int \log x (-x^{-1})' dx = -x^{-1} \log x - \int (\log x)' (-x^{-1}) dx = -\frac{\log x}{x} + \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\log x}{x} + \int x^{-2} dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} + C = -\frac{\log x + 1}{x} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x^2 e^x dx = (x^2 - 2x + 2)e^x + C$

(3) $\int e^x \cos x dx = \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C$

(4) $\int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x + 1}{x} + C$