問題は、双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ の導関数を求めることです。具体的には、以下の3つの関数の導関数を求めます。 (1) $\sinh x$ (2) $\cosh x$ (3) $\tanh x$

1. 問題の内容

問題は、双曲線関数 $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$, $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$, $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ の導関数を求めることです。具体的には、以下の3つの関数の導関数を求めます。

(1) $\sinh x$

(2) $\cosh x$

(3) $\tanh x$

2. 解き方の手順

(1) $\sinh x$ の導関数

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

なので、

$\frac{d}{dx} \sinh x = \frac{d}{dx} \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$

(2) $\cosh x$ の導関数

$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ を微分します。

$\frac{d}{dx} e^x = e^x$

$\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}$

なので、

$\frac{d}{dx} \cosh x = \frac{d}{dx} \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \frac{e^x + (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh x$

(3) $\tanh x$ の導関数

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ を微分します。商の微分公式 $\frac{d}{dx} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$ を用います。

$\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x$

$\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$

なので、

$\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{d}{dx} \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{(\cosh x)(\cosh x) - (\sinh x)(\sinh x)}{(\cosh x)^2} = \frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x}$

ここで、$\cosh^2 x - \sinh^2 x = (\frac{e^x + e^{-x}}{2})^2 - (\frac{e^x - e^{-x}}{2})^2 = \frac{e^{2x} + 2 + e^{-2x}}{4} - \frac{e^{2x} - 2 + e^{-2x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

したがって、

$\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x$

(2) $\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$

(3) $\frac{d}{dx} \tanh x = \frac{1}{\cosh^2 x}$