直交する2つの円柱 $x^2 + y^2 \le a^2$ と $y^2 + z^2 \le a^2$ の共通部分 $D$ の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

直交する2つの円柱 $x^2 + y^2 \le a^2$ と $y^2 + z^2 \le a^2$ の共通部分 $D$ の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、体積を求めるために三重積分を考えます。$y$軸に関して対称なので、$y \ge 0$ の部分の体積を求めて2倍します。

$x^2 + y^2 \le a^2$ より、$-a \le x \le a$ であり、$y^2 \le a^2 - x^2$ なので、$0 \le y \le \sqrt{a^2 - x^2}$ です。

また、$y^2 + z^2 \le a^2$ より、$z^2 \le a^2 - y^2$ なので、$-\sqrt{a^2 - y^2} \le z \le \sqrt{a^2 - y^2}$ です。

したがって、体積 $V$ は次の三重積分で表されます。

$V = 2 \iiint_D dxdydz = 2 \int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} \int_{-\sqrt{a^2-y^2}}^{\sqrt{a^2-y^2}} dz\,dy\,dx$

$z$ に関する積分を実行します。

$V = 2 \int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} 2\sqrt{a^2-y^2} \,dy\,dx = 4 \int_{-a}^{a} \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{a^2-y^2} \,dy\,dx$

次に、$y$ に関する積分を実行します。積分範囲が $[0, \sqrt{a^2 - x^2}]$ であることに注意して、置換積分 $y = a \sin \theta$ を用います。すると、$dy = a \cos \theta \,d\theta$ となり、積分範囲は $y = 0$ のとき $\theta = 0$, $y = \sqrt{a^2 - x^2}$ のとき $\sin \theta = \frac{\sqrt{a^2 - x^2}}{a}$ となります。

$y$ に関する積分は

$\int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{a^2-y^2} \,dy = \frac{y\sqrt{a^2-y^2}}{2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{y}{a}) \Big|_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} = \frac{\sqrt{a^2-x^2}\sqrt{x^2}}{2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a})$

別の方法として、積分範囲を $0 \le y \le \sqrt{a^2 - x^2}$ の場合、$\sqrt{a^2 - y^2} = x$とおくと、$y=\sqrt{a^2-x^2}$です。 $\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{a^2-y^2} dy = \int_{\sqrt{a^2-x^2}}^a \sqrt{a^2-x^2} dx$

これは、二重積分を計算するときに、$x$と$y$を入れ替えることで積分の計算を簡単にするテクニックを用います。

しかし、簡単な方法は以下の通りです。

積分 $I = \int_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{a^2-y^2} dy$ に対して、$x=a\cos\theta$とおくと、積分範囲は$0 \le y \le a\sin\theta$となり、$I = \frac{a^2\theta}{2}+\frac{a^2\sin2\theta}{4} \Big|_{0}^{\sqrt{a^2-x^2}}$

より簡単な計算として、積分順序を変更して、$x$の積分を実行します。

$V = 4 \int_{0}^{a} \int_{- \sqrt{a^2 - y^2}}^{\sqrt{a^2 - y^2}} \sqrt{a^2-y^2} \,dx\,dy = 4 \int_{0}^{a} 2\sqrt{a^2-y^2}\sqrt{a^2-y^2} \,dy = 8 \int_{0}^{a} (a^2-y^2) \,dy$

$V = 8 \left[ a^2 y - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{a} = 8 \left( a^3 - \frac{a^3}{3} \right) = 8 \cdot \frac{2}{3} a^3 = \frac{16}{3} a^3$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3} a^3$