次の数列が単調増加数列であることを示し、上に有界かどうかを調べます。 (1) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$ (2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$ (3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の数列が単調増加数列であることを示し、上に有界かどうかを調べます。

(1) $\frac{1}{1\cdot2} + \frac{1}{2\cdot3} + \dots + \frac{1}{n(n+1)}$

(2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2}$

(3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

(1)

数列の一般項を $a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)}$ とします。

$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$ という部分分数分解を利用します。

$a_n = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}) = 1 - \frac{1}{n+1}$

$a_{n+1} - a_n = (1 - \frac{1}{n+2}) - (1 - \frac{1}{n+1}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{(n+2) - (n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$

よって、$a_{n+1} > a_n$ となり、数列$\{a_n\}$は単調増加数列です。

また、$a_n = 1 - \frac{1}{n+1} < 1$ なので、数列$\{a_n\}$は上に有界です。

(2)

数列の一般項を $b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2}$ とします。

$b_{n+1} - b_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$

よって、$b_{n+1} > b_n$ となり、数列$\{b_n\}$は単調増加数列です。

$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$ を用いて、$k \ge 2$について

$b_n = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n} < 2$

よって、$b_n$ は上に有界です。

より精密な評価として、$b_n < \frac{\pi^2}{6}$も知られています。

(3)

数列の一般項を $c_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ とします。

$c_{n+1} - c_n = \frac{1}{n+1} > 0$

よって、$c_{n+1} > c_n$ となり、数列$\{c_n\}$は単調増加数列です。

数列$\{c_n\}$が上に有界でないことを示します。

$c_{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{2^{n-1}+1} + \dots + \frac{1}{2^n})$

$> 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}) + \dots + (\frac{1}{2^n} + \dots + \frac{1}{2^n})$

$= 1 + \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{4}{8} + \dots + \frac{2^{n-1}}{2^n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \dots + \frac{1}{2} = 1 + \frac{n}{2}$

$n$ を大きくすると $1 + \frac{n}{2}$ はいくらでも大きくなるので、$c_n$ は上に有界ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 単調増加であり、上に有界である。

(2) 単調増加であり、上に有界である。

(3) 単調増加であり、上に有界ではない。