関数 $y = \tan x$ の定義域と値域を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \tan x$ の定義域と値域を求める。

2. 解き方の手順

* $\tan x$ の定義

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ である。

* 定義域

$\tan x$ が定義されるためには、分母である $\cos x$ が $0$ であってはならない。

$\cos x = 0$ となるのは、$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$ は整数) のときである。

したがって、定義域は $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ となるすべての実数である。

* 値域

$\tan x$ は $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ の範囲で $-\infty$ から $\infty$ までのすべての値を取る。

$\tan x$ は周期関数であり、周期は $\pi$ であるから、値域はすべての実数である。

3. 最終的な答え

* 定義域: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$ ($n$ は整数)

* 値域: すべての実数