球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ ($a > 0$) と円柱面 $x^2 + y^2 = ax$ で囲まれた立体の体積を求める問題です。

1. 問題の内容

球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ ($a > 0$) と円柱面 $x^2 + y^2 = ax$ で囲まれた立体の体積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z$について解きます。球面の方程式から、$z = \pm \sqrt{a^2 - x^2 - y^2}$ となります。

立体の体積は、この$z$の上半分と下半分を考慮して、二重積分で表されます。

$V = 2 \iint_D \sqrt{a^2 - x^2 - y^2} \, dxdy$

ここで、$D$は円柱面 $x^2 + y^2 = ax$ の内部です。この積分を計算するために、極座標変換を行います。

$x = r \cos\theta$, $y = r \sin\theta$

このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ であり、$dxdy = r dr d\theta$ です。

円柱面の方程式は $r^2 = ar \cos\theta$ となり、$r = a \cos\theta$ となります。

また、$r \ge 0$ であることから、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$となります。

したがって、体積の積分は次のようになります。

$V = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{a\cos\theta} \sqrt{a^2 - r^2} \, r dr d\theta$

ここで、内側の積分を計算します。$u = a^2 - r^2$ と置換すると、$du = -2r dr$ となります。

$r=0$ のとき $u=a^2$, $r=a\cos\theta$ のとき $u=a^2 - a^2\cos^2\theta = a^2\sin^2\theta$ です。

よって、

$\int_0^{a\cos\theta} \sqrt{a^2 - r^2} \, r dr = -\frac{1}{2} \int_{a^2}^{a^2\sin^2\theta} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{a^2\sin^2\theta}^{a^2} \sqrt{u} \, du$

$= \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_{a^2\sin^2\theta}^{a^2} = \frac{1}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{a^2\sin^2\theta}^{a^2} = \frac{1}{3} (a^3 - a^3|\sin^3\theta|)$

$= \frac{a^3}{3} (1 - |\sin^3\theta|)$

これを外側の積分に代入します。

$V = 2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{a^3}{3} (1 - |\sin^3\theta|) \, d\theta = \frac{2a^3}{3} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1 - |\sin^3\theta|) \, d\theta$

$= \frac{4a^3}{3} \int_0^{\pi/2} (1 - \sin^3\theta) \, d\theta = \frac{4a^3}{3} \left[ \theta + \cos\theta - \frac{1}{3}\cos^3\theta \right]_0^{\pi/2}$

$= \frac{4a^3}{3} \left( \frac{\pi}{2} - (1 - \frac{1}{3}) \right) = \frac{4a^3}{3} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} \right) = \frac{4a^3}{3} \left( \frac{3\pi - 4}{6} \right) = \frac{a^3(3\pi - 4)}{9} \cdot 2$

$\int_0^{\pi/2} \sin^3 \theta d\theta = \int_0^{\pi/2} \sin \theta (1-\cos^2 \theta) d\theta = [-\cos\theta + \frac{\cos^3 \theta}{3}]_0^{\pi/2} = 0 - (-1+\frac{1}{3}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$V = \frac{4a^3}{3} (\frac{\pi}{2} - \frac{2}{3}) = \frac{2a^3(3\pi - 4)}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{2a^3(3\pi - 4)}{9}$