関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ の定義域と値域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ の定義域と値域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、定義域を求めます。

根号の中身は正である必要があるので、$x^2 - 1 > 0$ を満たす必要があります。

$x^2 - 1 > 0$ を因数分解すると、

$(x - 1)(x + 1) > 0$

したがって、$x < -1$ または $x > 1$ が定義域となります。

次に、値域を求めます。

$y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ であり、$x^2 - 1 > 0$ ですから、$\sqrt{x^2 - 1} > 0$ です。

よって、$y > 0$ です。

$x^2 - 1$ の最小値を考えます。

$x \to 1$ または $x \to -1$ のとき、$x^2 - 1 \to 0$ となります。

したがって、$\sqrt{x^2 - 1} \to 0$ となり、$y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \to \infty$ となります。

$x$ が大きくなると、$x^2 - 1$ も大きくなり、$\sqrt{x^2 - 1}$ も大きくなります。

したがって、$y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ は小さくなります。

$x \to \infty$ のとき、$y \to 0$ となります。

まとめると、$y > 0$ であり、$y$ は任意に大きな値を取ることができます。また、$y$ は $0$ に限りなく近づくことができますが、$0$ になることはありません。

したがって、値域は $y > 0$ となります。

3. 最終的な答え

定義域: $x < -1$ または $x > 1$

値域: $y > 0$