(1) 次の極限値を求めよ。 $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2-3x} - \sqrt{2+x}}{x}$ (2) 次の等式を満たすように定数 $a, b$ の値を定めよ。 $\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - ax + b}{x^2 - 2x - 15} = \frac{1}{2}$

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) 次の極限値を求めよ。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2-3x} - \sqrt{2+x}}{x}$

(2) 次の等式を満たすように定数 $a, b$ の値を定めよ。

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - ax + b}{x^2 - 2x - 15} = \frac{1}{2}$

2. 解き方の手順

(1)

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2-3x} - \sqrt{2+x}}{x}$

この極限を計算するために、分子を有理化します。

$\frac{\sqrt{2-3x} - \sqrt{2+x}}{x} = \frac{(\sqrt{2-3x} - \sqrt{2+x})(\sqrt{2-3x} + \sqrt{2+x})}{x(\sqrt{2-3x} + \sqrt{2+x})} = \frac{(2-3x) - (2+x)}{x(\sqrt{2-3x} + \sqrt{2+x})} = \frac{-4x}{x(\sqrt{2-3x} + \sqrt{2+x})} = \frac{-4}{\sqrt{2-3x} + \sqrt{2+x}}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{2-3x} - \sqrt{2+x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4}{\sqrt{2-3x} + \sqrt{2+x}} = \frac{-4}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{-4}{2\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2}$

(2)

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - ax + b}{x^2 - 2x - 15} = \frac{1}{2}$

まず、分母を因数分解します。

$x^2 - 2x - 15 = (x-5)(x+3)$

極限が存在するためには、分子も $x=5$ で0になる必要があります。したがって、

$5^2 - 5a + b = 0$

$25 - 5a + b = 0$

$b = 5a - 25$

次に、分子を因数分解します。分子は $(x-5)$ を因数に持つはずです。

$x^2 - ax + b = (x-5)(x-c) = x^2 - (5+c)x + 5c$

したがって、$a = 5+c$ かつ $b = 5c$

$b = 5a - 25$に $b = 5c$ と $a = 5+c$ を代入すると、

$5c = 5(5+c) - 25$

$5c = 25 + 5c - 25$

$5c = 5c$

これでは $a$ と $b$ が求められません。

$\lim_{x \to 5} \frac{x^2 - ax + b}{(x-5)(x+3)} = \lim_{x \to 5} \frac{(x-5)(x-c)}{(x-5)(x+3)} = \lim_{x \to 5} \frac{x-c}{x+3} = \frac{5-c}{5+3} = \frac{5-c}{8} = \frac{1}{2}$

$5-c = 4$

$c = 1$

$a = 5 + c = 5 + 1 = 6$

$b = 5c = 5(1) = 5$

3. 最終的な答え

(1) $-\sqrt{2}$

(2) $a = 6, b = 5$