与えられた3つの数列がそれぞれ増加数列であることを示し、上に有界であるかどうかを調べる問題です。 (1) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$ (2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$ (3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$

1. 問題の内容

与えられた3つの数列がそれぞれ増加数列であることを示し、上に有界であるかどうかを調べる問題です。

(1) $\frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \cdots + \frac{1}{n(n+1)}$

(2) $\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{n^2}$

(3) $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$

2. 解き方の手順

(1) の場合：

まず、この数列の第n項までの和 $S_n$ は、部分分数分解を用いて次のように書き換えられます。

$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1})$

この和を書き下すと、

$S_n = (1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \cdots + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$

となり、多くの項が打ち消しあって、

$S_n = 1 - \frac{1}{n+1}$

となります。

$S_{n+1} - S_n = (1 - \frac{1}{n+2}) - (1 - \frac{1}{n+1}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0$

であるため、この数列は増加数列です。

また、$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n+1} \to 0$ であるので、$S_n \to 1$となります。したがって、この数列は上に有界であり、上限は1です。

(2) の場合：

この数列の第n項までの和を $S_n$ とします。明らかに、$S_{n+1} - S_n = \frac{1}{(n+1)^2} > 0$ であるため、この数列は増加数列です。

この数列が上に有界であることは、$\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k(k-1)}$ (for $k \geq 2$)を用いて示すことができます。

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \leq 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k-1)} = 1 + \sum_{k=2}^{n} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 1 + (1 - \frac{1}{n}) = 2 - \frac{1}{n} < 2$

したがって、この数列は上に有界であり、上限は2以下です。（実際には$\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$に収束することが知られています。）

(3) の場合：

この数列の第n項までの和を $S_n$ とします。明らかに、$S_{n+1} - S_n = \frac{1}{n+1} > 0$ であるため、この数列は増加数列です。

この数列が上に有界でないことは、調和級数が発散することからわかります。例えば、$S_{2^n} \geq 1 + \frac{n}{2}$を示すことができます。

$S_1 = 1$

$S_2 = 1 + \frac{1}{2}$

$S_4 = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) > 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = 1 + \frac{2}{2}$

$S_8 = 1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8}) > 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + \frac{3}{2}$

帰納的に$S_{2^n} > 1 + \frac{n}{2}$ が示せるので、$n \to \infty$のとき、$S_{2^n} \to \infty$となります。したがって、この数列は上に有界ではありません。

3. 最終的な答え

(1) 増加数列であり、上に有界（上限は1）です。

(2) 増加数列であり、上に有界です。

(3) 増加数列であり、上に有界ではありません。