a を正の定数とする。関数 $y=ax^2(x-2)$ で表される曲線を C とする。曲線 C と x 軸で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする。また、C 上に x 座標が t である点 P をとり、P における C の接線を l とする。$0 \le x \le 2$ かつ $(t^2 - セソ t)x - タチ t^3 + ツテ t^2 \le y \le ax^2(x-2)$ で表される図形の面積を $S_2$ とする。$S_1 + S_2$ を求め、$S_1 = S_2$ となる実数 t の範囲について考える。

1. 問題の内容

a を正の定数とする。関数 $y=ax^2(x-2)$ で表される曲線を C とする。曲線 C と x 軸で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする。また、C 上に x 座標が t である点 P をとり、P における C の接線を l とする。$0 \le x \le 2$ かつ $(t^2 - セソ t)x - タチ t^3 + ツテ t^2 \le y \le ax^2(x-2)$ で表される図形の面積を $S_2$ とする。$S_1 + S_2$ を求め、$S_1 = S_2$ となる実数 t の範囲について考える。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ を求める。$y = ax^2(x-2)$ は $x=0$ と $x=2$ で x 軸と交わるので、$S_1$ は積分を用いて

$S_1 = -\int_0^2 ax^2(x-2) dx = -a\int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx = -a[\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3}]_0^2 = -a(\frac{16}{4} - \frac{16}{3}) = -a(4 - \frac{16}{3}) = -a(-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}a$

次に、$S_2$ の式を完成させる。直線 l の方程式を $y = mx + n$ とおく。直線 l は点 P$(t, at^2(t-2))$ で曲線 C に接するので、l の傾きは $y' = a(3x^2 - 4x)$ に $x=t$ を代入して $m = a(3t^2 - 4t)$ となる。よって、

$y - at^2(t-2) = a(3t^2 - 4t)(x-t)$

$y = a(3t^2 - 4t)x - a(3t^3 - 4t^2) + at^3 - 2at^2 = a(3t^2 - 4t)x - 2at^3 + 2at^2 = a(3t^2 - 4t)x - 2at^2(t-1)$

$y = a(3t^2 - 4t)x - 2at^3 + 2at^2$

$S_2$ は $0 \le x \le 2$ かつ $(t^2 - セソ t)x - タチ t^3 + ツテ t^2 \le y \le ax^2(x-2)$ で表される領域なので、直線 $y=a(3t^2 - 4t)x - 2at^3 + 2at^2$ と x 軸との交点の x 座標が負であるとき、1 と y 軸との交点の y 座標は $2at^2(1-t)$ となる。これが負となるには $2at^2(1-t) < 0$ より $t > 1$ が必要。

$S_1 + S_2$ を求める。

$S_1 + S_2 = \frac{4}{3}a + 0$ （図形の面積なので $S_2=0$ ）

$S_1 = S_2$ となるような t の値の範囲を求める。

3. 最終的な答え

ケコ : 4

サ : 3

シス : 3

セソ : 4

タチ : 2

ツテ : 2

ト : 1

ナニヌネ : 4

ノ : 3

ハ : 1