与えられた式は積分を表しているようです。積分記号が省略されているものとして、以下の不定積分を計算します。 $\int \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+1} + \log(x + \sqrt{x^2+1})) dx$

1. 問題の内容

与えられた式は積分を表しているようです。積分記号が省略されているものとして、以下の不定積分を計算します。

$\int \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+1} + \log(x + \sqrt{x^2+1})) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。

$\int \frac{1}{2} (x\sqrt{x^2+1} + \log(x + \sqrt{x^2+1})) dx = \frac{1}{2} \int x\sqrt{x^2+1} dx + \frac{1}{2} \int \log(x+\sqrt{x^2+1}) dx$

それぞれの積分を別々に計算します。

(1) $\int x\sqrt{x^2+1} dx$

置換積分を行います。$u = x^2 + 1$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2}du$。

$\int x\sqrt{x^2+1} dx = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + C_1$

(2) $\int \log(x+\sqrt{x^2+1}) dx$

部分積分を行います。$u = \log(x+\sqrt{x^2+1})$ , $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) dx = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} (\frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}) dx = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$, $v = x$

$\int \log(x+\sqrt{x^2+1}) dx = x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$ は、置換積分 $w=x^2+1$ とすると、$dw=2x dx$ なので

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{w}} \cdot \frac{1}{2}dw = \frac{1}{2} \int w^{-\frac{1}{2}} dw = \frac{1}{2} \cdot \frac{w^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = \sqrt{w} + C_2 = \sqrt{x^2+1} + C_2$

よって、

$\int \log(x+\sqrt{x^2+1}) dx = x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \sqrt{x^2+1} + C_2$

したがって、元の積分は

$\frac{1}{2} \int x\sqrt{x^2+1} dx + \frac{1}{2} \int \log(x+\sqrt{x^2+1}) dx = \frac{1}{2} (\frac{1}{3}(x^2+1)^{\frac{3}{2}}) + \frac{1}{2} (x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \sqrt{x^2+1}) + C$

$= \frac{1}{6}(x^2+1)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1} + C$

$= \frac{1}{6}(x^2+1)\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1} + C$

$= \frac{1}{6}x^2\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{6}\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \frac{1}{2}\sqrt{x^2+1} + C$

$= \frac{1}{6}x^2\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) - \frac{1}{3}\sqrt{x^2+1} + C$

$= \frac{1}{6}x^2\sqrt{x^2+1} - \frac{2}{6}\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) + C$

$= \frac{1}{6}(x^2 - 2)\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{6}(x^2 - 2)\sqrt{x^2+1} + \frac{1}{2}x \log(x+\sqrt{x^2+1}) + C$