$y = ax^2(x-2)$ で表される曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする。また、$0 \le x \le 2$ かつ $(\text{シス}x^2 - \text{セソ}x)x - \text{タチ}t^3 + \text{ツテ}t^2 \le y \le ax^2(x-2)$ で表される図形の面積を $S_2$ とする。$S_1$, $S_2$ をそれぞれ求め、関係式を求める問題。また、接線と $y$ 軸との交点の $y$ 座標が負となるような $t$ の値の範囲を求める問題。最後に、$S_1 = S_2$ となる実数 $t$ の個数についての記述を選ぶ問題。

1. 問題の内容

$y = ax^2(x-2)$ で表される曲線Cとx軸で囲まれた部分の面積を $S_1$ とする。また、$0 \le x \le 2$ かつ $(\text{シス}x^2 - \text{セソ}x)x - \text{タチ}t^3 + \text{ツテ}t^2 \le y \le ax^2(x-2)$ で表される図形の面積を $S_2$ とする。$S_1$, $S_2$ をそれぞれ求め、関係式を求める問題。また、接線と $y$ 軸との交点の $y$ 座標が負となるような $t$ の値の範囲を求める問題。最後に、$S_1 = S_2$ となる実数 $t$ の個数についての記述を選ぶ問題。

2. 解き方の手順

(1) $S_1$ の計算

$S_1$ は曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積なので、積分で計算する。

$S_1 = \int_0^2 |ax^2(x-2)| dx = \int_0^2 -ax^2(x-2) dx = -a \int_0^2 (x^3 - 2x^2) dx$

$= -a \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} \right]_0^2 = -a \left( \frac{16}{4} - \frac{16}{3} \right) = -a \left( 4 - \frac{16}{3} \right) = -a \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}a$

よって $\text{ケコ} = 4$, $\text{サ} = 3$.

(2) $y'$ の計算

$y = ax^3 - 2ax^2$ より、$y' = 3ax^2 - 4ax$.

点 $P$ における接線 $l$ の方程式は

$y = (3at^2 - 4at)(x-t) + at^2(t-2) = (3at^2 - 4at)x - 3at^3 + 4at^2 + at^3 - 2at^2 = (3at^2 - 4at)x - 2at^3 + 2at^2$.

よって、$y = (3at^2 - 4at)x - 2at^3 + 2at^2$.

したがって、$\text{シス} = 3$, $\text{セソ} = 4$, $\text{タチ} = 2$, $\text{ツテ} = 2$.

(3) $S_2$ の計算

$S_1 + S_2 = \int_0^2 -ax^2(x-2) + (3at^2 - 4at)x - 2at^3 + 2at^2 dx$.

$= \int_0^2 -ax^3 + 2ax^2 + (3at^2 - 4at)x - 2at^3 + 2at^2 dx = \left[ -\frac{ax^4}{4} + \frac{2ax^3}{3} + \frac{3at^2x^2}{2} - 2atx^2 - 2at^3x + 2at^2x \right]_0^2$

$= -4a + \frac{16a}{3} + 6at^2 - 8at - 4at^3 + 4at^2 = -4at^3 + 10at^2 - 8at - \frac{12a}{3} + \frac{16a}{3} = -4at^3 + 10at^2 - 8at + \frac{4a}{3}$.

$S_1 + S_2 = \frac{4}{3}a + S_2$ より、$S_2 = -4at^3 + 10at^2 - 8at$.

$S_1 + S_2 = \frac{4a}{3} + (-4at^3 + 10at^2 - 8at) = a(-4t^3 + 10t^2 - 8t + \frac{4}{3})$.

(4) 点Aのy座標

$l$ と $y$ 軸の交点 A の $y$ 座標は、$x=0$ を代入して、$-2at^3 + 2at^2 = 2at^2(1-t)$.

これが負となる条件は、$2at^2(1-t) < 0$. $a > 0$ より、$t^2(1-t) < 0$.

$t \neq 0$ より、$1 - t < 0$. したがって $t > 1$. よって、$\text{ト} = 1$.

(5) $S_1 = S_2$ のとき

$S_1 = \frac{4}{3}a = -4at^3 + 10at^2 - 8at$.

$a \neq 0$ なので、$\frac{4}{3} = -4t^3 + 10t^2 - 8t$.

$12t^3 - 30t^2 + 24t - 4 = 0$.

$6t^3 - 15t^2 + 12t - 2 = 0$.

$f(t) = 6t^3 - 15t^2 + 12t - 2$ とおくと、$f'(t) = 18t^2 - 30t + 12 = 6(3t^2 - 5t + 2) = 6(3t - 2)(t-1)$.

$f(2/3) = 6(8/27) - 15(4/9) + 12(2/3) - 2 = 16/9 - 20/3 + 8 - 2 = \frac{16}{9} - \frac{60}{9} + 6 = \frac{-44}{9} + \frac{54}{9} = \frac{10}{9} > 0$.

$f(1) = 6 - 15 + 12 - 2 = 1$.

$f(0) = -2 < 0$.

したがって、$0 < t < 2/3$ に1つの解、 $2/3 < t < 1$ に1つの解、そして $t > 1$ に1つの解を持つ。

$t = \sqrt{2} \approx 1.414$. $f(\sqrt{2}) = 6(2\sqrt{2}) - 15(2) + 12\sqrt{2} - 2 = 12\sqrt{2} - 30 + 12\sqrt{2} - 2 = 24\sqrt{2} - 32 \approx 24(1.414) - 32 = 33.936 - 32 = 1.936 > 0$.

より、$2/3 < t < 1$ は $t < \sqrt{2}$. $t > 1$ は $t < \sqrt{2}$.

3つの実数解を持ち、一つは$\sqrt{2}$より小さい、もう一つも$\sqrt{2}$より小さい。一つは$\sqrt{2}$より大きい。

したがって、$\text{ハ} = 6$.

3. 最終的な答え

$S_1 = \frac{4}{3}a$

$y = (3at^2 - 4at)x - 2at^3 + 2at^2$

$S_1 + S_2 = -4at^3 + 10at^2 - 8at + \frac{4}{3}a$

$t > 1$

$\text{ハ} = 6$