以下の関数の導関数を求める問題です。 (1) $e^{2x} - e^{-x}$ (2) $\sin 3x - \cos 2x$ (3) $x^2 e^{-3x}$ (4) $\tan \frac{x}{2}$ (5) $-\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x)$ (6) $-2 \frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}$

解析学導関数微分指数関数三角関数積の微分商の微分
2025/7/26
はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

以下の関数の導関数を求める問題です。
(1) e2xexe^{2x} - e^{-x}
(2) sin3xcos2x\sin 3x - \cos 2x
(3) x2e3xx^2 e^{-3x}
(4) tanx2\tan \frac{x}{2}
(5) 15ex(sin2x+2cos2x)-\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x)
(6) 2cosx2cosx2+sinx2-2 \frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}

2. 解き方の手順

(1) e2xexe^{2x} - e^{-x} の導関数
eaxe^{ax} の導関数は aeaxa e^{ax} であることを利用します。
ddx(e2x)=2e2x\frac{d}{dx} (e^{2x}) = 2e^{2x}
ddx(ex)=ex\frac{d}{dx} (e^{-x}) = -e^{-x}
したがって、
ddx(e2xex)=2e2x(ex)=2e2x+ex\frac{d}{dx} (e^{2x} - e^{-x}) = 2e^{2x} - (-e^{-x}) = 2e^{2x} + e^{-x}
(2) sin3xcos2x\sin 3x - \cos 2x の導関数
ddx(sinax)=acosax\frac{d}{dx} (\sin ax) = a \cos ax
ddx(cosax)=asinax\frac{d}{dx} (\cos ax) = -a \sin ax
ddx(sin3x)=3cos3x\frac{d}{dx} (\sin 3x) = 3 \cos 3x
ddx(cos2x)=2sin2x\frac{d}{dx} (\cos 2x) = -2 \sin 2x
したがって、
ddx(sin3xcos2x)=3cos3x(2sin2x)=3cos3x+2sin2x\frac{d}{dx} (\sin 3x - \cos 2x) = 3 \cos 3x - (-2 \sin 2x) = 3 \cos 3x + 2 \sin 2x
(3) x2e3xx^2 e^{-3x} の導関数
積の微分公式 ddx(uv)=uv+uv\frac{d}{dx} (uv) = u'v + uv' を利用します。
u=x2u = x^2, v=e3xv = e^{-3x} とすると、
u=2xu' = 2x, v=3e3xv' = -3 e^{-3x}
したがって、
ddx(x2e3x)=2xe3x+x2(3e3x)=2xe3x3x2e3x=xe3x(23x)\frac{d}{dx} (x^2 e^{-3x}) = 2x e^{-3x} + x^2 (-3 e^{-3x}) = 2x e^{-3x} - 3x^2 e^{-3x} = x e^{-3x} (2 - 3x)
(4) tanx2\tan \frac{x}{2} の導関数
tanx\tan x の導関数は 1cos2x\frac{1}{\cos^2 x} です。合成関数の微分を利用します。
ddx(tanx2)=1cos2x212=12cos2x2\frac{d}{dx} (\tan \frac{x}{2}) = \frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}
(5) 15ex(sin2x+2cos2x)-\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x) の導関数
積の微分公式を利用します。
u=15exu = -\frac{1}{5} e^{-x}, v=sin2x+2cos2xv = \sin 2x + 2 \cos 2x
u=15exu' = \frac{1}{5} e^{-x}, v=2cos2x4sin2xv' = 2 \cos 2x - 4 \sin 2x
ddx(15ex(sin2x+2cos2x))=15ex(sin2x+2cos2x)15ex(2cos2x4sin2x)\frac{d}{dx} (-\frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x)) = \frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x) - \frac{1}{5} e^{-x} (2 \cos 2x - 4 \sin 2x)
=15ex(sin2x+2cos2x2cos2x+4sin2x)=15ex(5sin2x)=exsin2x= \frac{1}{5} e^{-x} (\sin 2x + 2 \cos 2x - 2 \cos 2x + 4 \sin 2x) = \frac{1}{5} e^{-x} (5 \sin 2x) = e^{-x} \sin 2x
(6) 2cosx2cosx2+sinx2-2 \frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}} の導関数
商の微分公式 ddx(uv)=uvuvv2\frac{d}{dx} (\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2} を利用します。
u=cosx2u = \cos \frac{x}{2}, v=cosx2+sinx2v = \cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}
u=12sinx2u' = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2}, v=12sinx2+12cosx2v' = -\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}
ddx(cosx2cosx2+sinx2)=12sinx2(cosx2+sinx2)cosx2(12sinx2+12cosx2)(cosx2+sinx2)2\frac{d}{dx} (\frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}) = \frac{-\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} (\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}) - \cos \frac{x}{2} (-\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cos \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}
=12sinx2cosx212sin2x2+12sinx2cosx212cos2x2(cosx2+sinx2)2=12(sin2x2+cos2x2)(cosx2+sinx2)2=12(cosx2+sinx2)2= \frac{-\frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin^2 \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cos^2 \frac{x}{2}}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2} (\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} = \frac{-\frac{1}{2}}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}
したがって、
ddx(2cosx2cosx2+sinx2)=212(cosx2+sinx2)2=1(cosx2+sinx2)2\frac{d}{dx} (-2 \frac{\cos \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2}}) = -2 \cdot \frac{-\frac{1}{2}}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2} = \frac{1}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}

3. 最終的な答え

(1) 2e2x+ex2e^{2x} + e^{-x}
(2) 3cos3x+2sin2x3 \cos 3x + 2 \sin 2x
(3) xe3x(23x)x e^{-3x} (2 - 3x)
(4) 12cos2x2\frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}}
(5) exsin2xe^{-x} \sin 2x
(6) 1(cosx2+sinx2)2\frac{1}{(\cos \frac{x}{2} + \sin \frac{x}{2})^2}

「解析学」の関連問題

与えられた関数を微分する問題です。 (5) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ (6) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2...

微分対数関数合成関数の微分三角関数
2025/7/26

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ が与えられたとき、以下の関係式を示す。 $I = \frac{1}{...

積分部分積分漸化式
2025/7/26

次の関数の導関数を求めよ。 (1) $\arcsin x + \arccos x$ (2) $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} (a \neq 0)$ (3) $\arcs...

導関数微分合成関数積の微分商の微分
2025/7/26

次の2つの関数の導関数を求めます。 (1) $arcsin(x) + arccos(x)$ (2) $\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})$ (ただし、$a \neq 0$)

導関数微分逆三角関数合成関数の微分
2025/7/26

問題2.3.2の(2)について、関数 $f(x) = \frac{1}{a} \arctan{\frac{x}{a}}$ (ただし、$a \neq 0$) の導関数を求める。

微分導関数合成関数逆正接関数arctan
2025/7/26

与えられた関数 $z$ について、$x$ と $y$ に関する偏導関数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}...

偏微分多変数関数
2025/7/26

$0 \leq x < 2\pi$ の範囲で、$\sqrt{3}\sin{x} + \cos{x} \geq 1$ を満たす $x$ の範囲を求めます。

三角関数三角関数の合成不等式解の範囲
2025/7/26

与えられた関数を積分する問題です。具体的には、以下の12個の関数に対する不定積分を求める必要があります。 (1) $x^2 e^x$ (2) $(x-2) \cos 3x$ (3) $e^x \cos...

積分不定積分部分積分置換積分三角関数
2025/7/26

次の3つの関数 $f(x, y)$ が原点 $(0, 0)$ で連続かどうかを調べます。 (1) $f(x, y) = \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ $((x, y) \...

多変数関数連続性極限極座標変換
2025/7/26

与えられた関数を積分する問題です。ここでは、(1), (3), (4)の関数について不定積分を求めます。 (1) $x^2 e^x$ (3) $e^x \cos x$ (4) $\frac{\log ...

積分不定積分部分積分指数関数対数関数三角関数
2025/7/26