与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、 $\lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{3n} \right\}$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限を求める問題です。具体的には、

$\lim_{n \to \infty} \left\{ \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{3n} \right\}$

を計算します。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、自然対数の底 $e$ の定義である

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

を利用します。

与えられた式を次のように変形します。

$\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{3n} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{\frac{n}{2}} \right]^{\frac{2}{n} \cdot 3n} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{\frac{n}{2}} \right]^{6}$

ここで、$m = \frac{n}{2}$ とおくと、$n \to \infty$ のとき $m \to \infty$ となります。したがって、

$\lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^{m} = e$

を用いると、

$\lim_{n \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{2}{n} \right)^{\frac{n}{2}} \right]^{6} = \left[ \lim_{m \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^{m} \right]^{6} = e^6$

となります。

3. 最終的な答え

$e^6$