与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。 (1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ (2) $y = \frac{x^2}{x+1}$

1. 問題の内容

与えられた2つの関数のグラフの概形を描く問題です。

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$

(2) $y = \frac{x^2}{x+1}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x^2+1}$ の場合：

* 定義域：すべての実数

* 値域：$0 < y \le 1$

* 対称性：偶関数（$y$軸に関して対称）

* 極値：$x=0$ で極大値 $y=1$

* 漸近線：$x \to \pm \infty$ で $y \to 0$（$x$軸）

* グラフの形状：$y$軸に関して対称で、$x=0$ で最大値1をとり、 $x$ が大きくなるにつれて $0$ に近づく。

(2) $y = \frac{x^2}{x+1}$ の場合：

* 定義域：$x \neq -1$

* $y = \frac{x^2-1+1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)+1}{x+1} = x-1+\frac{1}{x+1}$

* 漸近線：$x=-1$, $y = x-1$

* $y' = \frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

* $y'' = \frac{(2x+2)(x+1)^2 - 2(x+1)(x^2+2x)}{(x+1)^4} = \frac{2(x+1)^2-2(x^2+2x)}{(x+1)^3} = \frac{2(x^2+2x+1)-2x^2-4x}{(x+1)^3} = \frac{2}{(x+1)^3}$

* 極値：$x=0$ で極小値 $y=0$, $x=-2$ で極大値 $y=-4$

* グラフの形状：$x=-1$ に漸近線があり、$x=0$ で極小値0をとり、$x=-2$ で極大値-4をとる。$y=x-1$ にも漸近する。

3. 最終的な答え

グラフの概形を言葉で表すのは難しいですが、上記の情報を元にグラフを描くことができます。

(1) のグラフは、$y$軸に関して対称で、山のような形をしています。頂点は$(0, 1)$で、$x$軸が漸近線です。

(2) のグラフは、$x=-1$に漸近線、$y=x-1$に漸近線を持ち、$x=0$で極小、$x=-2$で極大となります。

（具体的なグラフの図示は省略します）