関数 $y = ax(x-2)$ で表される曲線 $C$ について、以下の問いに答えます。 - 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めます。 - $0 \leq t \leq 2$ のとき、連立不等式 $0 \leq x \leq 2$ と $ax(x-2) \leq y \leq t$ で表される図形の面積を $S_2$ とします。$S_1 + S_2$ を求めます。 - 曲線 $C$ 上で $x$ 座標が $t$ である点 $P$ における $C$ の接線 $l$ を求めます。 - 接線 $l$ と $y$ 軸との交点 $A$ の $y$ 座標が負になるような $t$ の値の範囲を求めます。 - $S_1 = S_2$ となる実数 $t$ についての記述として、正しいものを選択します。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $y = ax(x-2)$ で表される曲線 $C$ について、以下の問いに答えます。

- 曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれた部分の面積 $S_1$ を求めます。

- $0 \leq t \leq 2$ のとき、連立不等式 $0 \leq x \leq 2$ と $ax(x-2) \leq y \leq t$ で表される図形の面積を $S_2$ とします。$S_1 + S_2$ を求めます。

- 曲線 $C$ 上で $x$ 座標が $t$ である点 $P$ における $C$ の接線 $l$ を求めます。

- 接線 $l$ と $y$ 軸との交点 $A$ の $y$ 座標が負になるような $t$ の値の範囲を求めます。

- $S_1 = S_2$ となる実数 $t$ についての記述として、正しいものを選択します。

2. 解き方の手順

まず、$S_1$ を求めます。$y = ax(x-2)$ と $x$ 軸 ($y=0$) との交点は $x=0$ と $x=2$ です。面積を計算するため、積分を行います。$0 \le x \le 2$ で $ax(x-2) \le 0$ であることに注意して積分範囲を定める必要があります。

$S_1 = -\int_0^2 ax(x-2) dx = -a \int_0^2 (x^2 - 2x) dx = -a [\frac{1}{3}x^3 - x^2]_0^2 = -a (\frac{8}{3} - 4) = -a (-\frac{4}{3}) = \frac{4}{3}a$

次に、$S_2$ を求めます。これは $y=t$ と曲線Cで囲まれた部分の面積なので、長方形の面積から$S_1$を引けば良いことがわかります。よって、$S_2=2t-S_1=2t-\frac{4}{3}a$

したがって、 $S_1 + S_2 = \frac{4}{3}a + 2t - \frac{4}{3}a = 2t$

次に、点PにおけるCの接線を求めます。

$y' = a(2x-2)$

$x=t$における傾きは$a(2t-2)$なので、接線の方程式は、

$y = a(2t-2)(x-t) + at(t-2)$

$y = a(2t-2)x - a(2t-2)t + at(t-2)$

$y = a(2t-2)x - 2at^2 + 2at + at^2 - 2at$

$y = a(2t-2)x - at^2$

$y$軸との交点Aの座標は$x=0$なので、$y=-at^2$です。

これが負になるのは、$t \neq 0$の時なので$0 < t \le 2$となります。

$S_1 = S_2$ の時、$\frac{4}{3}a = 2t - \frac{4}{3}a$

$\frac{8}{3}a = 2t$

$t = \frac{4}{3}a$

ここで、$0 \le t \le 2$なので$0 \le \frac{4}{3}a \le 2$

$0 \le a \le \frac{3}{2}$

$t = \frac{4}{3}a$

$S_1 = S_2$

$t = \frac{4a}{3} < \frac{4 \times (3/2)}{3} = 2$

$t=\sqrt{2} > \frac{4}{3}$を満たすか調べる必要があるので、$S_1 = S_2$となるとき、$t = \frac{4}{3}a = \sqrt{2} > \frac{4}{3}$となるためには$a>\sqrt{2}*\frac{3}{4} > 1$

$\frac{4}{3} > \sqrt{2} < \frac{3}{2}$を満たすものを探す。

したがって、S1=S2となる実数tはただ1つ存在し、それは$\sqrt{2}$より大きい。

3. 最終的な答え

サ: 4/3

シス: 0

セ: t

ソ: 2

タチ: 2

ツテ: t

ネ: 2

ノ: t

ト: 0 < t <= 2

ハ: (2)