以下の極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求める。 (1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$ (2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$ (3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$ (4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

1. 問題の内容

以下の極限について、収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその極限値を求める。

(1) $\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1}$

(2) $\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2}$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2}$

(4) $\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|}$

2. 解き方の手順

(1)

$x \to 1+0$ なので、$x>1$ である。よって、$x-1>0$ となり、$|x-1| = x-1$。したがって、

$\lim_{x \to 1+0} \frac{|x-1|}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} \frac{x-1}{x-1} = \lim_{x \to 1+0} 1 = 1$

(2)

$x \to 2-0$ なので、$x<2$ である。よって、$x-2<0$。$x$ が2に近づくにつれて、$x-2$ は負の方向から0に近づく。したがって、$\frac{1}{x-2}$ は負の方向に無限大に発散する。

$\lim_{x \to 2-0} \frac{1}{x-2} = -\infty$

(3)

$x \to -2-0$ なので、$x<-2$ である。よって、$x+2<0$ だが、$(x+2)^2 > 0$ である。$x$ が-2に近づくにつれて、$(x+2)^2$ は0に近づく。したがって、$\frac{1}{(x+2)^2}$ は正の方向に無限大に発散する。

$\lim_{x \to -2-0} \frac{1}{(x+2)^2} = +\infty$

(4)

$x \to -1$ なので、$x$ が-1に近づく。$|x+1|$ は常に0以上であり、$x$ が-1に近づくにつれて、$|x+1|$ は0に近づく。したがって、$\frac{1}{|x+1|}$ は正の方向に無限大に発散する。

$\lim_{x \to -1} \frac{1}{|x+1|} = +\infty$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 発散（$-\infty$）

(3) 発散（$+\infty$）

(4) 発散（$+\infty$）